ISEGORIA / 数学百科事典
スイッチング電源：刻んで変換する
携帯電話の充電器も、ノートパソコンの電源アダプタも、プロセッサの電圧レギュレータも、ある直流電圧を別の直流電圧に変え、その差を熱として捨てることはしません。毎秒数十万回スイッチを切り替え、刻まれた波形をインダクタとコンデンサに平均させるのです。インダクタのボルト秒の釣り合いから変換比が一行で求まり、インダクタ自身の抵抗が昇圧変換器で上げられる限界を決め、軽負荷では電流が毎周期尽きて規則が変わります。
前提知識: インダクタとコンデンサを含む回路、時間平均
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 降圧変換器
スイッチは各周期の割合 D の間だけ入力をインダクタにつなぎ、残りの間は切り離します。その間、ダイオードまたは第二のスイッチが、インダクタの電流が流れ続ける道をつくります。そのためスイッチ節点には V_in と 0 の間の方形波が現れ、その平均は D·V_in です。インダクタとコンデンサはこの平均を通し、スイッチングを遮る低域通過フィルタになります。手がかりはインダクタ電流です。スイッチがオンの間は (V_in − V)/L で増え、オフの間は V/L で減り、定常状態では各周期の終わりに始めの値へ戻らねばなりません。スイッチとともに電流の経路が変わる様子を見て、オン時間の終わりをドラッグして D を変え、電流が尽きるほど負荷を軽くしてみてください。
計算例. 200 kHz、\(D=0.42\) で 12 V を 5 V に下げます。出力は \(0.42\times12=5.04\) V です。\(L=10\) µH なら電流リプルは \((12-5.04)\times0.42/(10\,\mu\mathrm H\times200\,\mathrm{kHz})=1.46\) A で、2 Ω の負荷では電流は平均 2.52 A のまわりを 1.79 A から 3.25 A まで振れます。47 µF のコンデンサが出力リプルを \(1.46/(8\times200\,\mathrm{kHz}\times47\,\mu\mathrm F)=19.4\) mV に抑えます。負荷がリプルの半分 0.73 A より多く引く限り、つまり負荷が 6.9 Ω より小さい限り、電流は連続です。
注意点. ここでのスイッチとダイオードは理想的で、オン抵抗も順方向電圧降下もスイッチング時間もないので、効率は 100% で、定常状態は厳密です。実際の変換器ではダイオードの 0.4〜0.7 V の順方向電圧降下は低い出力電圧で大きな損失になるので、現代の変換器は同期型の第二のスイッチを使います。またデューティ比は手で決めるのではなく、出力を測って D を調整する帰還ループが決めます。コンデンサのリプルの式は、電流リプルがすべてコンデンサに流れると仮定し、その直列抵抗を無視していますが、実際にはそれが支配的なこともよくあります。
インダクタ電流は、なぜ各周期の終わりにちょうど始めの値に戻らねばならないのですか？
そうでなければ毎周期同じだけずれていき、限りなく増えてしまい、定常状態ではないからです。一周期の間の変化は \(\frac1L\int_0^{T_s}v_L\,dt\) なので、インダクタの平均電圧は 0 でなければなりません。オンの間に得るボルト秒 \((V_{in}-V)DT_s\) は、オフの間に失うボルト秒 \(V(1-D)T_s\) に等しくなければなりません。同じ議論をコンデンサの電荷に当てはめると、その平均電流は 0 なので、インダクタの平均電流は負荷電流に等しくなります。
2. 降圧、昇圧、昇降圧、そして利得の限界
同じ三つの部品、スイッチとダイオードとインダクタを並べ替えると、電圧を下げる、上げる、反転する変換器ができます。どの比もボルト秒の釣り合いから導かれます。昇圧のインダクタはスイッチがオンの間 V_in を、オフの間 V_in − V を受けるので V = V_in/(1 − D) で、D が 1 に近づくといくらでも利得が得られるように見えます。そうはなりません。インダクタの巻線抵抗 R_L には入力電流、つまり負荷電流を 1 − D で割ったものが流れるので、その損失は 1/(1 − D)² で増えるからです。あるデューティ比を超えると、スイッチを長く入れるほど出力は下がります。変換器を選び、巻線抵抗を負荷に対する割合で決め、曲線に沿って動作点をドラッグしてください。
計算例. 3.7 V のリチウム電池を 12 V に昇圧します。理想の式は \(D=1-3.7/12=0.692\) を求めますが、\(R_L/R=2\%\) ではこのデューティ比で得られるのは \(M=2.68\)、つまり 9.9 V だけで、効率は 82.6% です。\(M=12/3.7=3.24\) に届くには \(D=0.784\) が必要で、そこでは効率は 69.9% まで落ちています。そしてどんなデューティ比でも \(1/(2\sqrt{0.02})=3.54\) より大きくはならず、それは \(D=1-\sqrt{0.02}=0.859\) で達成されます。大きな昇圧が必要な設計者は、代わりに変圧器や多段の変換器を使います。
注意点. モデルに入れた損失はインダクタの巻線抵抗だけで、それ以外はすべて理想的です。実際のスイッチのオン抵抗、ダイオードの電圧降下、スイッチング損失も似た項を加え、曲線をさらに下げます。三つの比はどれも電流連続モードを仮定しています。昇降圧の出力は入力のグラウンドに対して負なので、その利得の曲線は軸の下に描いています。
降圧変換器の効率はデューティ比によらないのに、昇圧の効率は D = 1 の近くで崩れるのはなぜですか？
インダクタの位置のためです。降圧ではインダクタは負荷と直列なので、常にちょうど負荷電流 \(I\) を流し、\(I^2R_L\) を消費し、それは出力電力の一定の割合です。昇圧ではインダクタは入力と直列で、電力の釣り合いが入力電流を \(I/(1-D)\) まで押し上げます。そのため損失 \(I^2R_L/(1-D)^2\) は \(D\to1\) で限りなく増えますが、送り出せる電力はそうはなりません。
3. 電流が尽きるとき
還流の経路がダイオードだと、インダクタ電流は逆向きになれません。負荷が軽いと、電流は周期が終わる前に 0 まで下がり、そのままになります。ダイオードは阻止し、何も流れず、スイッチが再びオンになるまでコンデンサだけが負荷に電流を供給します。これが電流不連続モードです。ボルト秒の釣り合いはやはり成り立ちますが、それは 1 − D ではなく D とより短い下りの区間 D₂ についてであり、出力は D だけでなく負荷にも依存するようになります。どちらのモードにいるかを決めるのは、インダクタの時定数とスイッチング周期を比べる無次元数 K = 2L/(R·T_s) で、境界は K = 1 − D です。動作点をドラッグして境界を越えてください。
計算例. 200 kHz、\(D=0.42\) の 12 V 降圧変換器で、今度は \(L=2\) µH、負荷を軽い 20 Ω にします。\(K=2\times2\,\mu\mathrm H/(20\,\Omega\times5\,\mu\mathrm s)=0.04\) で、\(1-D=0.58\) よりずっと小さい値です。出力は \(M=2/(1+\sqrt{1+0.16/0.1764})=0.840\) で、5.04 V ではなく 10.08 V になります。電流は \((1-M)D\,V_{in}T_s/L=2.02\) A でピークに達し、さらに周期の \(D_2=0.08\) の後に 0 へ戻り、残りの 50% の間は 0 のままです。
注意点. これらの式は出力リプルが小さく、出力電圧が一周期の間ほぼ一定であることと、部品が理想的であることを仮定しています。第二のスイッチが両方向に導通する同期型の変換器は、このモードに入りません。軽負荷では電流が単に負になり、循環電流の代償を払って \(M=D\) が保たれます。多くの制御器は、スイッチング損失を減らせるので、軽負荷ではわざと不連続動作や間欠動作に切り替えます。
負荷が軽くなると、なぜ出力電圧は D·V_in より上がるのですか？
電流不連続モードでは、インダクタは一定の電流ではなく、オン時間と入出力の電圧で決まる一定のエネルギーの包みを毎周期送り出します。負荷が軽いと引き出される量が少ないので、コンデンサは下りの区間 \(D_2\) がボルト秒が再び釣り合うほど短くなるまで充電されます。\(D_2\) が小さいときの \((V_{in}-V)D=VD_2\) は、\(V\) が \(V_{in}\) に近いことを意味します。だからこのモードで動かす変換器は、出力を安定させるために帰還を必要とします。