ISEGORIA / 数学百科事典
レーザー物理：自らを複製する光
レーザーはフィードバックの輪に包まれた増幅器です。誘導放出は光子を同じモードへ複製し、一組の鏡が複製を増幅器へ送り返します。その結果、鋭いしきい値を超えたところで、並外れて純粋な光が生まれます。しきい値と点灯時のスパイクの背後にある速度方程式、どの周波数が発振してよいかを選び出す共振器、そして位相のそろった周波数の櫛がフェムト秒パルスの列に変わるモード同期を調べます。
前提知識: 光学と量子力学
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. しきい値と点灯時のスパイク
レーザーは二つの数で記述できます。上準位にいる原子が下準位よりどれだけ多いかを表す反転分布 N と、共振器のモードにいる光子の数 φ です。ポンプは N を増やし、自然放出は寿命 τ で N を減らし、モードの中の各光子は N に比例する率でさらに光子を誘導します。共振器は寿命 τ꜀ で光子を漏らします。利得が損失とつり合うのはただ一つの反転分布、しきい値の反転分布だけなので、しきい値より上では反転分布はそこに固定され、それ以上のポンプのパワーはすべて光になります。出力は鋭い折れ目から直線で立ち上がります。自然放出のわずかな割合 β がモードに入って種となり、対数目盛ではこの折れ目はおよそ 1/β の跳びになります。再生を押してレーザーを点灯し、行き過ぎる様子を見てください。
計算例. 半導体レーザーでは \(\tau\approx2\) ns、\(\tau_c\approx2\) ps なので \(\rho=\tau/\tau_c=1000\) です。しきい値の二倍でポンプすると、反転分布は \(n=2(1-e^{-t/\tau})\) のように上昇し、\(\tau\ln2=1.4\) ns 後にしきい値を越えます。そこから光子は自然放出の種から成長し、定常出力の数倍のスパイクとなって現れます。振動は \(\omega_R=\sqrt{1000}/\tau=1.6\times10^{10}\,\mathrm{s^{-1}}\)、周波数にして 2.5 GHz で、時定数 \(2\tau/r=2\) ns で消えていきます。この緩和振動数がレーザーをどれだけ速く変調できるかを決めるので、光通信で重要になります。
注意点. これは最も単純な四準位の速度方程式です。モードは一つ、下のレーザー準位は瞬時に空になり、空間構造はありません。光子数は飽和値を単位としており、\(p=1\) は誘導放出が自然放出と同じ速さで反転分布を減らす強度です。実際の半導体レーザーには利得圧縮とキャリア密度に依存する屈折率が加わり、振動はより速く減衰します。固体レーザーの \(\rho\) は \(10^4\) から \(10^6\) で、ずっと長くスパイクを続けます。\(\omega_R\) の式は小振幅の結果なので、最初の大きなスパイクは少しだけゆっくり振動します。
なぜ、どれだけ強くポンプしても反転分布はしきい値に固定されるのですか？
定常状態では光子数は変化できないので、利得は損失とちょうど等しくなければなりません。\(\beta\) を無視すれば \((n-1)p=0\) です。共振器に光があり \(p>0\) なら、これは \(n=1\) を強制します。一往復の利得が一往復の損失をちょうど補う反転分布です。反転分布がそれより高くなれば光子数が際限なく増えて反転分布を引き戻し、低くなれば光が消えてポンプが反転分布を満たし直します。だから余分なポンプは光子になるほか行き場がなく、しきい値より上で \(p=r-1\) はポンプに比例するのです。
2. 共振器が色を選ぶ
距離 L だけ離れた二枚の鏡は、半波長の整数個がちょうど収まる定在波しか支えられません。そのため共振器は、自由スペクトル領域 c/2L の間隔で並ぶ鋭い共鳴の櫛を透過させます。共鳴の鋭さは鏡で決まります。間隔と幅の比であるフィネスは、反射率 R が 1 に近づくと π/(1 − R) のように大きくなります。利得媒質はずっと広い帯域を与えます。ヘリウムネオン管では原子が動いており、そのドップラーずれが利得をおよそ 1.5 GHz に広げます。櫛が損失の線より上の利得と出会うところでモードが発振します。鏡をドラッグして L を変え、モードが出入りする様子を見てください。鏡を波長の何分の一か動かすと櫛が滑り、R を下げるとしきい値の上昇と共鳴の広がりが同時に起こります。
計算例. 長さ 30 cm のヘリウムネオン共振器では \(\nu_F=c/2L=499.7\) MHz です。\(R=0.98\) の鏡ではフィネスは \(\pi\sqrt{0.98}/0.02=156\) で、各共鳴の幅は \(3.2\) MHz、光子は \(\tau_c=1/(2\pi\,\delta\nu)=50\) ns、およそ 25 往復のあいだ生き延びます。Q 値は \(\nu/\delta\nu=1.5\times10^8\) です。しきい値には一往路あたり \(-\ln0.98=2.0\%\) の利得が必要です。線中心で 4% なら、利得は \(\pm0.75\) GHz にわたってしきい値を超え、幅 1.5 GHz のこの窓には、櫛の位置に応じて二つか三つのモードが入ります（最初の図では三つ）。共振器を約 10 cm より短くすると \(\nu_F\) がこの窓を超え、レーザーは単一の周波数で発振します。
注意点. 発振モードは、飽和していない利得が損失を上回るところに印を付けています。これはドップラー広がりの気体では正しい扱いで、各モードは自分専用の速度群の原子を使います。均一広がりの媒質ではモードが同じ原子を共有し、最も強いモードが他のすべてのモードの利得を飽和させるので、そうしたレーザーはこの図が示すより少ないモードで発振しがちです。損失は鏡の透過だけとし、二枚の鏡は等しいとしています。定在波は実際の共振器の百万ほどではなく 12 個の半波長で描いており、モードの高さはパワーではありません。
なぜ鏡をわずか 316 nm 動かすだけで、すべての共鳴が自由スペクトル領域一つ分ずれるのですか？
共鳴には整数 \(q\) について \(2L=q\lambda\) が必要です。632.8 nm 付近では 30 cm の共振器は \(q\approx948{,}000\) です。共振器を \(\lambda/2=316.4\) nm 長くするとちょうど半波長一つ分の余地ができるので、ある周波数にあったモードは番号 \(q+1\) をもつようになり、各共鳴は間隔 \(c/2L\) 一つ分だけ下へ滑って隣の位置に収まります。だから単一周波数のレーザーは共振器長を数ナノメートルの精度で保つ必要があり、放っておかれたレーザーは温まるにつれてモードからモードへ跳び移るのです。
3. モード同期：櫛がパルスになる
多くのモードで発振するレーザーは、周回時間を T とすると、ちょうど 1/T 間隔の周波数をもつ正弦波の和を放ちます。位相がランダムなら、和は一周ごとに繰り返す雑音のような模様です。位相がそろっていれば、場は一周に一瞬だけ強め合い、それ以外のほとんどの時刻で打ち消し合います。N 個のモードは平均強度の N 倍で長さ約 T/N のパルスを作り、それが共振器を周回して一周に一度漏れ出します。平均パワーはどちらの場合も同じで、ロックは時間の中でそれを並べ替えるだけです。ロックを動かし、モードの数を変えて、スペックルがパルスへ凝縮する様子を見てください。
計算例. 等しい 15 個のモードをロックすると、ピークは平均の \(15\) 倍、パルスの長さは一周の \(0.886/15=0.059\) です。繰り返し 80 MHz のチタンサファイア発振器では \(T=12.5\) ns で、800 nm での帯域 40 nm は \(\Delta\nu=c\,\Delta\lambda/\lambda^2=19\) THz、およそ 230,000 個のモードにあたります。ガウス型のスペクトルでは最短のパルスは \(\Delta t\,\Delta\nu=2\ln2/\pi=0.441\) を満たし、ここでは 24 fs です。自由発振のレーザーと同じ平均パワーが、五十万倍明るい閃光に押し込められます。
注意点. この図では位相を手で与えています。実際のレーザーでは、パルスを有利にする仕組みがロックをもたらします。周回周波数で駆動される変調器（能動モード同期）や、強度が高いほど損失が小さくなる可飽和吸収体やカーレンズ（受動モード同期）です。そのときパルスは連続波より損失が少なくなるので、位相は足並みをそろえます。共振器内の分散はモード間隔をわずかに不均一にし、補償しないとパルスにチャープを与えて長くします。ここでのガウス型の櫛は標準偏差の約 2.4 倍で打ち切られているので、そのパルスは理想的な積 0.441 より数パーセント長くなります。
なぜ位相をロックすると、平均パワーを変えずにピーク強度が上がるのですか？
一周にわたって平均すると、異なるモードの間の交差項 \(a_qa_{q^{\prime}}e^{i(\cdots)}\) は \(1/T\) の整数倍の周波数で振動して平均 0 になるので、位相が何であれ \(\langle I\rangle=\sum a_q^2\) です。位相が決めるのは、一周の中のどこにエネルギーがあるかだけです。ロックすると \(N\) 個の振幅は \(t=0\) で一つの \(N\) 倍に足し合わさり、強度は \(N^2\) になります。エネルギー保存則により、パルスは周期のおよそ \(1/N\) しか占められません。ランダムな位相はランダムウォークのように足し合わさり、典型的な強度 \(N\) が周期全体に広がります。