変分法：経路と原理

t = 0 で投げ上げ、t = 1 で同じ高さで受け止めるボールを考えます。ラグランジアンは L = ½q̇² − gq です。両端を固定したまま試行経路 q* + εη を停留経路から曲げ、変分 η の形を選びます。作用 S(ε) はどの形でも ε = 0 で傾きが 0 になります。下の帯はその理由を示します。オイラー・ラグランジュ方程式の残差 q̈ + g が 0 になるのは停留経路だけです。

2つの都市が同じ緯度にあります。経度・緯度の地図では両者を結ぶ緯線は直線ですが、最短経路ではありません。ハンドルをドラッグして、緯線から大円を経てさらに先まで続く経路の族の中で経路を変形します。長さは大円で停留し最小になります。大円は地図上では近い方の極へ膨らみます。

調和振動子 L = ½q̇² − ½q² が q(0) = 0 から q(T) = 1 まで運動します。古典経路に変分 ε·sin(kπt/T) を加え、3つの k について作用の変化を比べます。T < π ではどの変分も作用を上げます。T が最初の共役点 π を越えると最も遅い変分が作用を下げます。古典経路は停留したままですが、最小ではなく鞍点になります。