ISEGORIA / 数学百科事典
微分幾何：曲率と形
曲面上の計量・測地線・曲率を探ります。
前提知識: 微積分とベクトル
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 曲線の曲率
平面曲線とその曲がり具合を選び、曲線に沿って点をドラッグします。接触円はその点で曲線に最もよく合う円で、半径は 1/|κ| です。曲率の櫛は κ を曲線に沿った棘として描き、右のグラフは符号付き曲率を弧長に対してプロットします。曲線が左に曲がる所で正、右に曲がる所で負です。
計算例. 半径\(R\)の円は一定の曲率\(1/R\)を持ちます。
注意点. この式は符号付き曲率を与えます。その絶対値が向きを考えない曲線の曲率で、曲線を逆向きにたどると符号が反転します。
\(\kappa\)が最大なのはどこですか？
弧長に対して接線方向が最も速く変わる場所です。
2. トーラス上の測地線
トーラスの管の角度 v₀ の点から、緯線と角 ψ をなす向きに測地線を出し、同じように出発する座標直線と比べます。測地線はトーラスのクリストッフェル記号を用いた測地線方程式から計算しています。平らな (u, v) 座標では座標直線はまっすぐで測地線は曲がりますが、曲面上では逆になります。クレローの関係式 ρ cos ψ = 一定 により、測地線が穴をくぐるか外側にとどまるかが決まります。
計算例. R = 2、r = 0.8 で外側の赤道から ψ = 30° で出発する測地線は c = 2.8 cos 30° ≈ 2.42 > R − r = 1.2 なので、外側の赤道のまわりを振動し、内側の赤道には届きません。
注意点. トーラスの図は平坦な陰影で描き、見る人から見て裏側を通る部分を破線にしています。投影図であり、正確な隠面処理ではありません。
接続は何を補正しますか？
通常の加速度から座標の見かけの効果を差し引きます。
3. ガウス曲率
グラフ z = ½(x² + b y²) は鉢型 (b > 0) から放物柱面 (b = 0) を経て鞍型 (b < 0) へ変形します。右の曲率図の上で金色の点をドラッグすると、その点での第一・第二基本形式と K = (LN − M²)/(EG − F²) を計算します。左の曲面はドラッグで回転できます。
計算例. 原点では E = G = 1、F = M = 0、L = 1、N = b なので K = b です。b > 0 なら球面のような鉢型、b < 0 なら K < 0 の鞍型です。原点から離れると K = b/(1 + x² + b²y²)² は 0 に近づきます。
注意点. K は内在的ですが、L、M、N はそうではなく、曲面が空間にどう置かれているかに依存します。伸縮のない曲げで変わらないのは、LN − M² を EG − F² で割った組み合わせだけです。
伸縮なしの曲げで\(K\)は変わりますか？
等長変形なら内在的なガウス曲率は保たれます。