ISEGORIA / 数学百科事典
重力波：空間の幾何のさざ波
重力波は伝わっていく距離の変化です。ある方向に空間を伸ばし、それと直交する方向に縮め、次にそれを入れ替えることを毎秒百回以上くり返します。らせんを描いて近づく二つのブラックホールはこの波を放ち、その周波数と強さは特徴的な「チャープ」として上がっていきます。その上がり方は二つの質量のある一つの組み合わせだけで決まります。L 字型のレーザー干渉計は二本の腕の長さの差を陽子の幅の一万分の一まで測り、どれだけ感じるかは波が空のどこから来るかで変わります。
前提知識: 一般相対性理論、振動、ケプラー軌道
予想してから操作し、各実験の練習問題で理解を確かめてください。練習問題は三つの難易度で毎回新しく生成されます。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 空間を伸び縮みさせる波
輪の形に浮かぶ自由な質点は何にも押されませんが、重力波が通り抜けると質点どうしの距離が変わります。重力波は横波で、進行方向と直交する面の中でだけはたらきます。またトレースがゼロで、一方の軸に沿って加えた分を直交する軸から取り去ります。独立なパターンはプラスとクロスの二つで、同じ形を 45° 回したものです。進行方向に沿って五つの輪を並べてあるので、変形が進んでいく様子が見えます。偏光を混ぜたり円偏光にしたりして、L 字型検出器の二本の腕が記録するものを比べてください。
計算例. \(h_+=10^{-21}\) の波が 4 km の腕をもつ検出器を真上から通り抜けると、一方の腕は \(\tfrac12 hL=2\times10^{-18}\) m 伸び、もう一方は同じだけ縮むので、差は \(4\times10^{-18}\) m で、陽子の半径のおよそ二百分の一です。同じ軸に対する純粋なクロス波は、どちらの腕も一次では変えません。
注意点. 輪の形の変化が見えるように、ひずみを約 \(10^{20}\) 倍に誇張しています。上の式は一次（線形）の記述で、実際のひずみが非常に小さいので成り立ちます。ここでの距離は、横波・トレースゼロのゲージでの自由質点の間の固有距離です。その座標では質点は動かず、質点の間の計量が変わります。
L 字型の検出器一台が波をまったく捉えられないことがあるのはなぜですか？
検出器は二本の腕の長さの差だけを測るからです。腕に揃ったクロス偏光の波は対角線方向に伸び縮みさせるので、一次では二本の腕を同じだけ変え、差はゼロになります。
2. 連星のチャープ
軌道を回る二つのコンパクト天体は軌道周波数の二倍の周波数で波を放ち、エネルギーを失って近づき、速く回るようになって、さらに強く放射します。この暴走は最後の落下で終わります。最低次の近似では周波数の上がり方全体が質量の一つの組み合わせ、チャープ質量だけで決まるので、音の高さが上がる速さを測ると連星の質量がわかります。面は軌道面内の波で、光速で外へ広がる二本腕のらせんです。質量と距離を選び、最後の数周を再生してください。
計算例. 36 と 29 太陽質量、つまり最初に検出された連星に近い組では、チャープ質量は 28.1 太陽質量で、波の周波数が 67.6 Hz のとき最内安定軌道に達します。20 Hz からそこまで信号は 0.81 s、およそ 24 周期かかり、410 Mpc の距離ではそこでのひずみは \(1.2\times10^{-21}\) です。1.4 太陽質量ずつの中性子星の組はチャープ質量が 1.22 で、20 Hz 以上で 158 s、およそ 5000 周期を過ごします。
注意点. これは最低次（ニュートン四重極）のインスパイラルです。初めは正確で、天体が近づくにつれてずれが大きくなるので、全質量の最内安定円軌道で止めています。その後の落下、合体、リングダウンには数値相対論が必要なので、最後に外へ出た波面の内側の場は作り話をせずに平らなままにしています。3D 表示の距離の単位は \(GM/c^2\) で、天体は地平面よりずっと大きく描いています。
なぜ周波数はどんどん速く上がるのですか？
放射される出力は軌道周波数の六乗に質量の因子をかけたものに比例して増え、きつい軌道ほど多く放射し、しかも次に内側へ進むまでに失うべきエネルギーが少ないからです。そのため一周ごとに間隔は前の周より大きく縮み、周波数は \(f\propto\tau^{-3/8}\) のように暴走します。
3. 検出器が聞こえない方向
L 字型の干渉計はすべての方向に同じだけ敏感なわけではありません。真上から来た波は二本の腕に平らにかかって最大の信号を生み、腕の面内で二本の腕のちょうど中間の方向から来た波は二本の腕を同じだけ変えるので信号を生みません。この応答がアンテナパターンで、ここでは検出器のまわりに 3D で描いています。波源を空でドラッグし、波の偏光角を変え、プラス応答、クロス応答、その組み合わせを切り替えてください。
計算例. \(\theta=40^\circ\)、\(\phi=20^\circ\)、\(\psi=0\) からの波では \(F_+=\tfrac12(1+0.587)\times0.766=0.608\)、\(F_\times=\cos40^\circ\sin40^\circ=0.492\) なので、偏光で平均した応答は \(\sqrt{0.608^2+0.492^2}=0.782\) です。全天とすべての偏光で平均すると、\(F_+^2\) はちょうど \(1/5\) になります。
注意点. これは長波長の極限で、腕が重力波の波長よりずっと短いとしています。地上の検出器の観測周波数ではこれが成り立ちます。\(\theta\) は検出器の天頂から、\(\phi\) は x 腕から測り、\(\psi\) は波の面内での偏光角です。
なぜ観測網には場所と向きの異なる検出器が必要なのですか？
一台の検出器の応答では方向がわからないからです。多くの方向が同じ振幅を与え、死角からは何も届きません。離れた検出器は波を異なる時刻（地球の端から端で最大およそ 10 ms 差）に受け、向きの異なる検出器は \(F_+\) と \(F_\times\) の異なる混ざり方を見ます。両者を合わせて空の位置と二つの偏光が決まります。