ISEGORIA / 数学百科事典
統計と推測：データの中の信号
標本・信頼区間・回帰を探ります。
前提知識: 確率と代数
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 標本平均
母集団から大きさ n の標本を200個引き、その平均のヒストグラムを描きます。母集団の形によらず、平均は母平均のまわりに σ/√n の広がりで集まり、ヒストグラムは正規曲線に近づきます。再生すると標本を1つずつ引く様子が見られます。
計算例. 標本が大きいほど標準誤差は平方根則で減ります。
注意点. 小さい標準誤差でも、偏った標本枠によるバイアスは消えません。
nを4倍にすると何が変わりますか？
標準誤差が半分になります。
2. 信頼区間
既知の σ を持つ母集団から50個の標本を引き、それぞれから区間 x̄ ± zσ/√n を作ります。信頼水準を動かしても標本は同じで、臨界値 z が変わり、すべての区間が一斉に広がったり狭まったりします。真の平均を外した区間の数を数えてみましょう。
計算例. 同じデータモデルでは、信頼水準が高いほど区間は広くなります。
注意点. 95%は、標本を繰り返したときの手続きの長期的な被覆率を表します。固定された1つのパラメータについての確率ではありません。
区間を狭めるものは？
観測数の増加または変動の減少です。
3. 最小二乗回帰
12個の点を直線 y = 1 + 傾き·x のまわりに、選んだ大きさの正規ノイズで生成します。どの点をドラッグしても最小二乗直線が当てはめ直されます。橙の線分が残差、網掛けが平均応答の95%信頼帯で、右図は x に対する残差です。
計算例. 回帰直線は残差平方和を最小にします。
注意点. 回帰直線の関連だけでは因果は証明されません。
残差は何を測りますか？
観測応答から予測応答を引いたものです。
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