ISEGORIA / 数学百科事典
原子核物理：結合、崩壊、トンネル効果
原子核は、短距離の力で保たれ、陽子の電荷で押し離される陽子と中性子の滴です。液滴の式の五つの項で結合エネルギーのほとんどが説明でき、鉄がエネルギーの谷の底にある理由も、原子核が存在できなくなる境界もわかります。不安定な原子核は無作為に崩壊しますが、その連鎖は予測できる平衡に落ち着きます。そして半減期がマイクロ秒から数十億年にわたるアルファ崩壊は、クーロン障壁を抜ける量子トンネル効果です。
前提知識: 量子力学、指数関数的な減衰、静電気学
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 液滴と安定の谷
原子核の結合エネルギー B は、それをばらばらの陽子と中性子に引き離すのに必要なエネルギーです。原子核を圧縮できない核の流体の滴とみなすと、B は五つの項から得られます。各核子は隣の核子とだけ結びつくので体積項、表面の核子は隣が少ないので表面項、陽子どうしのクーロン反発、パウリの原理のため陽子と中性子の数が違うとエネルギーがかかるので非対称項、そして小さな対の項です。これらが合わさって核図表全体を描きます。安定な原子核の細い谷は、陽子の反発が強まるにつれて中性子の多い方へ曲がり、ドリップ線で囲まれています。図表の上をドラッグして、どの原子核の項でも見てください。
計算例. ウラン 238 では、体積項が 3748.5 MeV を与え、表面が 683.6、92 個の陽子のクーロン反発が 960.5、54 個の過剰な中性子が 290.4 を差し引き、対の項が 0.7 を加えます。\(B=1814.7\) MeV で、測定値 1801.7 との差は 0.7% です。核子あたりでは 7.62 MeV で、鉄 56 の 8.85（測定値 8.79）よりずっと小さいので、ウランを中くらいの二つの原子核に分けると核子あたり約 1 MeV、核分裂一回あたり約 200 MeV が放出されます。同じ式はウラン 238 のアルファ崩壊のエネルギーを \(Q_\alpha=4.34\) MeV と与え、測定値は 4.27 です。
注意点. 液滴は殻を何も知りません。陽子や中性子が 2、8、20、28、50、82、126 個の原子核は予想より最大で約 10 MeV 強く束縛されていて、この魔法数が鉛 208 がとても安定な理由です。また最も軽い原子核にも合いません。数個の核子ではほとんど滴にならないからです（ヘリウム 4 は式よりはるかに強く束縛されています）。係数はよく使われる一つのあてはめで、他のものは数パーセント違います。ここに描いたドリップ線は、式で最後の中性子や陽子が束縛されなくなる所で、本当の線は細部で違います。
非対称項は同数を好むのに、なぜ重い安定な原子核は陽子より中性子が多いのですか？
クーロンエネルギーは \(Z^2/A^{1/3}\) のように増えますが、非対称のペナルティは \((N-Z)^2/A\) のようにしか増えないからです。\(A\) を固定して和を \(Z\) について最小にすると、およそ \(Z_0=A/(2+0.0150A^{2/3})\) となり、軽い原子核では \(A/2\) に近いのですが、\(A=208\) では約 0.40\(A\) にすぎません。陽子を中性子に一つ替えるたびに、非対称の損よりも多くの反発が減り、それが二つの率がつり合うまで続きます。
2. 崩壊系列と放射平衡
不安定な原子核はどれも、年齢によらない一定の単位時間あたりの崩壊確率をもつので、一つの原子の崩壊の瞬間は予測できなくても、大きな試料は指数関数的に崩壊します。生成物自体も放射性なら、量はベイトマンの方程式に従います。娘は親から補給され、自分の崩壊で減ります。その量は増えて最大に達し、その後、親より寿命が短ければ平衡に落ち着き、一定の放射能比で親と歩調を合わせて崩壊します。二つの半減期を決め、再生を押して 900 個の原子が一つずつ崩壊するのを見て、その数を厳密な曲線と比べてください。
計算例. モリブデン 99（半減期 65.94 h）は、医療画像で最も広く使われる同位体テクネチウム 99m（6.007 h）に崩壊します。純粋なモリブデンから始めると、テクネチウムは \(\ln(\lambda_B/\lambda_A)/(\lambda_B-\lambda_A)=22.8\) h 後に最大となり、そのとき元の原子数の 7.2% です。だから病院はジェネレータからほぼ一日に一回テクネチウムを取り出します。それ以降テクネチウムの放射能はモリブデンの \(\lambda_B/(\lambda_B-\lambda_A)=1.100\) 倍で、これが過渡平衡です。
注意点. ここでの系列は放射性の二つの成員と安定な終点からなります。ウラン 238 の系列のような実際の系列は十四段で枝分かれもしますが、ベイトマンの解はどんな長さにも拡張できます。モリブデンの例では崩壊の約 12% がテクネチウム 99m を経由しないので、その分だけ量が減ります。900 個の原子は厳密に無作為な崩壊時刻で模擬しているので、その数は曲線のまわりにおよそ個数の平方根ほど散らばります。
永続平衡では、なぜ娘の放射能が親の放射能に等しくなるのですか？
平衡では娘の量は一定なので、崩壊するのと同じ速さで作られます。\(\lambda_AN_A=\lambda_BN_B\) で、これは二つの放射能が等しいということです。これは娘の寿命の間に親がほとんど変わらないときにだけ成り立ちます。過渡平衡では親ははっきり減っていき、娘はそれに遅れてついていき、比は 1 よりわずかに大きい \(\lambda_B/(\lambda_B-\lambda_A)\) になります。
3. トンネル効果によるアルファ崩壊
重い原子核の中のアルファ粒子は正のエネルギー Q をもちますが、その六、七倍も高いクーロン障壁の向こうに閉じ込められています。古典的には決して外へ出られません。量子力学ではその波動関数がしみ出し、一回の試みで外へ出る確率はガモフ因子 e^(−G) です。G は障壁の下で必要になる運動量の積分です。それに毎秒壁に当たる回数を掛ければ崩壊率になります。Q は指数の中の平方根に入っているので、Q が二倍違うと半減期は二十桁以上変わります。これが 1911 年のガイガー・ヌッタルの法則です。どちらかの図で Q をドラッグしてください。
計算例. ウラン 238 では \(Q=4.270\) MeV で、娘のトリウムは \(Z_d=90\) です。\(R=1.2(A_d^{1/3}+4^{1/3})=9.30\) fm とすると障壁の頂上は 27.9 MeV で、アルファ粒子は \(b=60.7\) fm までトンネルで抜けねばならず、\(G=88.0\)、一回の試みあたりの確率は \(e^{-G}=6.1\times10^{-39}\) です。毎秒 \(7.8\times10^{20}\) 回はね返るので、平均 \(4.6\times10^9\) 年で抜け出します。測定された半減期は \(4.47\times10^9\) 年です。\(Q=8.954\) MeV のポロニウム 212 では \(G=32.3\) で、予測される半減期は 0.063 µs、測定値は 0.30 µs です。
注意点. これはガモフの最初のモデルです。鋭い原子核の表面、純粋なクーロン障壁、原子核の中にすでに存在するアルファ粒子、そしてエネルギー \(Q\) での速さから得た試行の頻度 \(v/2R\) を仮定しています。アルファ粒子の集団が形成される確率、角運動量、原子核の変形は無視しているので、半減期はおよそ十倍の範囲でしか合いません。最も大きく外れるのは閉殻の所で、中性子が 126 個のポロニウム 210 はモデルの四十倍長く生きます。半径のパラメータ 1.2 fm はこれらの原子核へのあてはめです。
Q が少し大きいだけで、なぜ半減期がこれほど大きく縮むのですか？
Q は障壁に二重に作用するからです。外側の転回点 \(b\propto1/Q\) が内側へ動くので障壁は薄くなり、アルファ粒子のエネルギーより上の高さ \(V-Q\) も障壁の下のどこでも縮みます。主要な次数では \(G\approx\pi\sqrt{2\mu}\,b\sqrt{Q}/\hbar\propto Z_d/\sqrt Q\) で、確率は \(e^{-G}\)、\(G\) は 30 から 90 の間なので、\(G\) が 10% 変わると半減期は何桁も変わります。これがガイガー・ヌッタル図の直線 \(\log t_{1/2}=a+b\,Z_d/\sqrt Q\) です。