ISEGORIA / 数学百科事典
特殊相対性理論：空間・時間・光
ローレンツ図・時間の遅れ・不変間隔を調べます。
前提知識: 代数と幾何
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. ローレンツ図
観測者はそれぞれ自分の軸で時空を描きます。速さ v で動く系 S′ の橙の軸を傾けるか、事象 E をドラッグしてください。S′ の軸に平行な破線で座標 x′ と ct′ を読み取ります。光線はどちらの系でも45°のままで、S′ の単位目盛りは双曲線 (ct)² − x² = 一定 の上にあります。そのため時空間隔 s² はどちらの系でも同じ値になります。
計算例. v = 0.5c では γ ≈ 1.155 です。事象 (x, ct) = (1.2, 2) は S′ で x′ ≈ 0.231、ct′ ≈ 1.617 となり、どちらの系でも s² = 4 − 1.44 = 2.56 です。
注意点. 図では c = 1 の単位を使います。S′ の格子は紙面上では正方形ではありませんが、同じく正当な座標です。ミンコフスキー図での長さは定規ではなく時空間隔で測ります。
すべての慣性系で固定されるものは？
光速と時空間隔です。
2. 固有時
2つの時計が同時に出発します。一方は静止し、もう一方は速さ v で動きます。静止した時計が Δt を示すとき、運動する時計は Δτ = Δt/γ しか示しません。運動する時計の各目盛りは、静止した時計の対応する目盛りと同じ、時空間隔が一定の双曲線上にあります。時計が測るのは時空における世界線の長さだということが図からわかります。青い世界線の終点をドラッグし、再生で2つの時計を動かしてください。
計算例. v = 0.6c では γ = 1.25 なので、Δt = 4 の後に運動する時計は Δτ = 3.2 を示し、2.4 光単位だけ進んでいます。
注意点. 慣性系同士では相互的で、加速度が比較設定を変えます。
vがcに近づくとどうなりますか？
固有時の係数は0に近づきます。
3. 双子のパラドックス
双子の一方は地球に残り、もう一方は速さ v で出発し、折り返して戻ってきます。2本の世界線は両端を共有しますが、折れ曲がった方が時空では短いので、旅行者の方が若くなって帰ってきます。折り返しの事象をドラッグし、再生で旅行者の「今」の線を追ってください。どちらの行程でも地球の時計は遅れて見え、足りない年数は旅行者が向きを変えたときの飛びとして現れます。
計算例. v = 0.6c、全行程 T = 10 年では γ = 1.25 です。旅行者は8年だけ年を取り、3光年先で折り返します。折り返しで旅行者の「今」は地球の時計の v²T = 3.6 年分を飛び越え、3.2 + 3.6 + 3.2 = 10 となります。
注意点. 折り返しは瞬間的なものとして描いています。実際の折り返しには時間がかかりますが、非対称性は同じです。慣性系を乗り換えるのは旅行者だけであり、それが双子の対称性を破ります。
互いに相手の時計が遅れて見えるのに、結果が対称にならないのはなぜですか？
地球側はずっと1つの慣性系にいますが、旅行者は折り返しで慣性系を乗り換えます。そして2つの事象を結ぶ世界線のうち、まっすぐなものが最も長い固有時を持つからです。