フィルターとクロスオーバー：音をドライバーに振り分ける

計算例. \(R=10\ \Omega\)、\(C=10\ \mu\mathrm F\) の RC ローパスは \(f_c=1/(2\pi\times10^{-4})=1592\ \mathrm{Hz}\) をもち、そこで利得は \(1/\sqrt2\)、すなわち \(-3\ \mathrm{dB}\)、位相は \(-45^\circ\) です。十倍高い 15.9 kHz では利得は \(-20\ \mathrm{dB}\) です。直列に \(L=1\ \mathrm{mH}\) を加えると \(f_0=1592\ \mathrm{Hz}\)、\(Q=\sqrt{10^{-3}/10^{-5}}/10=1\) で、\(f_0\) での利得はちょうど \(Q\)、つまり 0 dB で、十倍上では 40 dB 下がっています。

注意点. これらは負荷を駆動しない理想的な部品です。スピーカーの受動型クロスオーバーはドライバーを駆動し、そのインピーダンスはスピーカーの話題で見たとおり抵抗とはほど遠いものです。そのため現実の受動回路はインピーダンス補正の枝を含むか、アンプの前に置く能動フィルターに置き換えられます。時間波形は定常状態を示します。フィルターを入れた瞬間の過渡応答は描いていません。

計算例. クロスオーバー周波数では \(s=j\) です。二次のバターワースの組では \(H_{\rm lp}=1/(\sqrt2 j)\)、\(H_{\rm hp}=-1/(\sqrt2j)\) で、大きさが等しく向きが逆なので和は 0 です。ツイーターを反転すると \(\sqrt2/j\) に足し合わされ、大きさは \(\sqrt2\)、+3 dB です。LR4 では各々が \(1/(\sqrt2j)^2=-\tfrac12\) で、どちらも \(-6\ \mathrm{dB}\)、同位相で、和は \(-1\)、大きさはちょうど 1 ですが位相は 180° ずれています。クロスオーバーよりずっと下で位相は 0、ずっと上で \(-360^\circ\) です。

注意点. 和は理想的なフィルターと、それ自体が平らで空間の同じ点を占める二つのドライバーについて計算しています。現実のドライバーはそれぞれの減衰特性をもち、それが音響的なフィルターの一部になるので、現実の設計は音響的なリンクウィッツ・ライリーの傾斜を目標にし、ドライバーの寄与を補正します。大きさが平らで位相が回る応答はオールパス応答です。矩形波の波形は変わりますがスペクトルは変わらず、それが典型的なクロスオーバー周波数で聞き取れるかどうかには議論があります。

計算例. 2.5 kHz の LR4 クロスオーバーで、ドライバーが縦に 15 cm 離れているとき、軸から \(20^\circ\) 上の聴き手にはツイーターが \(0.15\sin20^\circ=5.1\ \mathrm{cm}\)、つまり \(0.15\ \mathrm{ms}\) 早く聞こえます。これは 2.5 kHz では \(0.37\) 周期、\(134^\circ\) です。それぞれ \(-6\ \mathrm{dB}\) の二つの半分は \(|\cos67^\circ|=0.39\)、つまり \(-8\ \mathrm{dB}\) に足し合わされます。最初の零点は遅れが半周期になる所で、\(\sin\theta=343/(2\times2500\times0.15)\)、\(\theta=27^\circ\) です。2 cm の奥行きのずれはパターン全体をずらし、主ローブを \(\arctan(0.02/0.15)=7.6^\circ\) 上、つまりツイーターの側に傾けます。そこでは奥行きの分の遅れが高さの分で取り戻されるからです。

注意点. ドライバーは遠方場の点音源としてモデル化し、理想的に平らな応答をもち、それ自体の指向性はないとしています。前の話題の指向性は、クロスオーバー付近でウーファーの寄与をさらに狭めるでしょう。デジタルの遅延は軸上では奥行きのずれを正確に取り除けますが、縦方向の経路差をすべての聴取角度で同時に取り除ける遅延はありません。それができるのは、音響中心を同じ場所に置くことだけです。同軸型ドライバーでもツイーターはウーファーのコーンの面よりわずかに奥にあり、それは遅延で補正され、ウーファーのコーンがツイーターの拡散を形づくります。