ISEGORIA / 数学百科事典
押し出しと引き戻し：写像を通した積分
積分が写像に沿ってどう移るかを扱います。関数や微分形式を引き戻して上の空間で積分するか、測度を押し出して下の空間で積分するかです。重複度つきの面積公式、押し出し測度とその密度、写像のファイバーに沿った積分を調べます。
前提知識: 多変数微積分・ヤコビアン・測度と微分形式の初歩
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 引き戻してから積分する
単位正方形からある領域への写像 φ があれば、下の空間の積分を上の空間へ引き戻して計算できます。f を f∘φ に、dx dy を |det Dφ| du dv に置き換えるのです。ここでの φ は、ドラッグできる四つの角を通る双一次写像です。φ が一対一である限り、どの形の積分も一致します。金色の角 φ(1,1) を他の三つの角がつくる三角形の内側へドラッグすると、φ は折れ重なります。平面の一部が二度当たり、引き戻した積分はそこを二度数えます。これが面積公式で、重複度 #φ⁻¹(y) が目に見えるようになります。
計算例. 正方形を角 \(0,(2,0),(3,1),(1,1)\) の平行四辺形へ写します。\(\varphi(u,v)=(2u+v,\,v)\) で、\(\det D\varphi=2\) はいたるところ一定なので、\(\int_{[0,1]^2}2\,du\,dv=2\) は平行四辺形の面積です。\(f=x\) なら引き戻した被積分関数は \((2u+v)\cdot2\) で、積分すると \(3\) になります。\(3/2\) はたしかに重心 \((3/2,\,1/2)\) の \(x\) 座標です。
注意点. 引き戻されているものは二種類あります。測度論の変数変換は \(|\det D\varphi|\) を使い、逆像の個数を数えます。面積形式 \(f\,dx\wedge dy\) の引き戻しは符号を保つので、その積分は逆像を向きつきで数え、折り返した層は打ち消されます。両者がちょうど一致するのは、\(\varphi\) が一対一で向きを保つときです。双一次写像では \(\det D\varphi\) が \((u,v)\) の一次式なので、折り目は線分になります。
写像が折れ重なっていても、det Dφ の符号付き積分が四つの角の靴ひも公式による面積に等しいのはなぜですか？
ストークスの定理により \(\int_D\varphi^*(dx\wedge dy)=\int_D d\,\varphi^*(x\,dy)=\oint_{\partial D}\varphi^*(x\,dy)\) となり、最後の積分は境界の曲線 \(\varphi(\partial D)\) だけで決まるからです。双一次写像は正方形の各辺を線分に写し、多角形を一周する \(\oint x\,dy\) は靴ひも公式の和そのものです。
2. 測度を押し出す
可測写像 T は、定義域上の測度 μ を行き先の測度 T#μ に運びます。定義は集合を引き戻すことで、T#μ(B) = μ(T⁻¹(B)) です。すると積分は逆向きに移り、∫ g d(T#μ) = ∫ (g∘T) dμ となります。測度の押し出しと関数の引き戻しは互いに随伴な操作なのです。ここでは [0, 1] 上の T(x) = x + a sin(2πx)/(2π) を使います。窓 B をドラッグし、グラフが折り返すとその逆像がいくつもの区間に分かれる様子を見てください。μ から取った粒子を落とすと、T が平らなところに粒子が積み上がります。
計算例. \(\mu\) が一様で \(a<1\) のとき \(T^{\prime}(x)=1+a\cos2\pi x>0\) なので、\(y=T(x)\) における \(T_{\#}\mu\) の密度は \(1/(1+a\cos2\pi x)\) です。\(T\) が最も急な \(y=0\) と \(y=1\) で最も薄く \(1/(1+a)\) となり、\(T\) が最も平らな \(y=\tfrac12\) で最も濃く \(1/(1-a)\) となります。
注意点. 押し出しに必要なのは \(T\) と \(\mu\) だけで、いつでも存在します。その密度が存在するのは \(T^{\prime}\ne0\) がほとんどいたるところで成り立つときで、その場合でも密度は一つの逆像ではなく、すべての逆像にわたる和です。測度を写像に沿って引き戻す一般的な方法はありません。測度は押し出され、関数と微分形式は引き戻されます。
a > 1 のとき、折り目の高さ y* で密度が 1/√|y − y*| のように発散するのに、y* の近くの質量が有限のままなのはなぜですか？
折り返し点 \(x^*\) の近くでは \(T(x)\approx y^*+\tfrac12T^{\prime\prime}(x^*)(x-x^*)^2\) です。\(y\) の二つの逆像は \(x^*\) から \(\sqrt{2|y-y^*|/|T^{\prime\prime}|}\) の距離にあり、そこでは \(|T^{\prime}|\approx\sqrt{2|T^{\prime\prime}|\,|y-y^*|}\) です。\(\rho\) をこれで割ると逆平方根になり、\(\int|y-y^*|^{-1/2}dy\) は収束します。
3. ファイバーに沿って積分する
平面上の密度 p を関数 F: ℝ² → ℝ で押し出すと、X が密度 p をもつときの F(X) の分布が得られます。c におけるその密度は、ファイバー F = c 上で p を 1/|∇F| の重みで積分したものです。c と c + δ のファイバーにはさまれた殻の幅が δ/|∇F| だからです。これが余面積公式です。周辺分布、畳み込み、レイリー分布、積の密度はどれもその例です。写像を選び、水準 c をドラッグして殻の様子を見てください。
計算例. 標準ガウス分布と \(F=\sqrt{x^2+y^2}\) では、ファイバーは長さ \(2\pi c\) の円で、\(|\nabla F|=1\)、その上で \(p=e^{-c^2/2}/2\pi\) なので、\(q(c)=c\,e^{-c^2/2}\) となり、レイリー分布の密度が得られます。\(p\) が最大となる \(c=0\) で、この密度は 0 になります。
注意点. この公式には、各ファイバーのほとんどいたるところで \(\nabla F\ne0\) であることが必要です。\(F=xy\) の \(c=0\) のような臨界値では、ファイバーが臨界点を通り、\(q\) は有界でなくなることがありますが、その積分は有限のままです。右の棒は微積分をまったく使わず、平面の小区画ごとに質量を数えたものなので、曲線とは独立な検算になっています。
X + Y の密度が畳み込み ∫ p(t, c − t) dt になり、それを √2 で割ったものにならないのはなぜですか？
直線 \(x+y=c\) を \(x=t\) で媒介変数表示すると、弧長は \(d\ell=\sqrt2\,dt\) で、\(|\nabla(x+y)|=\sqrt2\) です。二つの \(\sqrt2\) が打ち消し合います。