ISEGORIA / 数学百科事典
スターリングエンジン：熱を動きに変える
スターリングエンジンは内部で何も燃やしません。ふつうはヘリウムか水素の決まった量のガスが、加熱器で熱く保つ空間と冷却器で冷たく保つ空間の間に封じ込められ、二つのピストンがそのガスを二つの空間の間で行き来させます。主に熱いときに膨張するガスは、主に冷たいときに圧縮される同じガスより強く押すので、その差がクランクを回します。空間の間を移るとき、ガスは再生器を通ります。再生器は細い金網を積み重ねたもので、低温側へ向かうガスから熱を受け取り、高温側へ向かうガスにそれを返します。理想サイクルがカルノー効率に達するのは、この再生器のおかげです。ロバート・スターリングは 1816 年にこのエンジンの特許を取りました。今日では潜水艦の非大気依存推進、太陽熱ディッシュ発電、逆向きに運転する極低温冷凍機、NASA の放射性同位体電源の研究で使われています。ここでの実験では、厳密な等温解析（シュミット解析）でアルファ型エンジンを動かし、ピストンの間の位相と体積比によって仕事がどう変わるかを地図に描き、不完全な再生器が何を失わせるかを測ります。
前提知識: 熱力学（理想気体、等温過程の仕事、カルノーの限界）、三角関数、ピストンエンジン
予想してから操作し、各実験の練習問題で理解を確かめてください。練習問題は三つの難易度で毎回新しく生成されます。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 動いているアルファ型エンジン
一つのクランクに二つのシリンダが 90° に開いて付いています。ひれで冷やす圧縮空間と、加熱する膨張空間です。体積は正弦波で変わり、高温側が位相角 \(\alpha\) だけ先行します。高温側の体積は低温側より四分の一回転早く増えるので、全体積が最大のときにはガスの大半がすでに高温側にあり、最小のときには低温側にあります。1871 年のシュミットの解析は、各空間を壁の温度に保ち、圧力を一様とします。それだけでエンジンは厳密に解けます。圧力はクランク角のずれた余弦の形になり、一サイクルの仕事は閉じた式で書けます。エンジンを回し、\(\alpha\) と温度を変えて、圧力・体積線図の閉曲線が開いたり閉じたりするのを見てください。
計算例. 両方のシリンダを内径 60 mm、行程 40 mm とすると、それぞれの行程容積は 113.1 cm³ です。すきま容積を行程容積の 0.1 倍、冷却器を 0.15 倍、再生器を 0.3 倍、加熱器を 0.15 倍とし、平均 10 bar のヘリウム、\(T_h=900\) K、\(T_k=300\) K、\(\alpha=90^\circ\) とします。すると \(b=0.452\)、\(\beta=18.4^\circ\) で、圧力は 6.14 bar と 16.29 bar の間で変わります。膨張空間は一サイクルに \(W_e=80.6\) J の仕事をし、圧縮空間は \(-26.9\) J を取り戻すので \(W=53.7\) J で、1500 rpm では 1.34 kW です。空間が等温なので \(Q_e=W_e\) で、効率は \(53.7/80.6=66.7\%\)、ちょうどカルノー効率です。同じ充てん量で同じ体積の範囲 123.6〜283.5 cm³ の理想スターリングサイクルなら 195 J の仕事をします。シュミットの閉曲線の面積はその 28% です。
注意点. シュミット解析は理想化です。実際の膨張空間と圧縮空間は等温より断熱に近く、熱交換器の面積は有限で圧力損失があり、再生器も不完全なので、実際のエンジンはカルノー効率のおよそ半分から三分の二にとどまり、仕事もここで計算した値より小さくなります。再生器の中のガスは、直線的な温度分布の対数平均温度にあるとしています。3D のエンジンは比率どおりに描いていますが縮尺どおりではなく、ガスの点は各空間に均一に散らしています。
ピストンが同位相で動くと、なぜエンジンは仕事をしないのですか？
\(\alpha=0\) では二つの体積が一緒に増えたり減ったりするので、全体積が同じなら、行きでも帰りでも高温側にあるガスの割合は同じです。すると圧力は体積だけの関数になり、閉曲線は面積ゼロの往復する一本の線につぶれます。式では \(\beta-\alpha\) も \(\beta\) もゼロで、\(W_e=W_c=0\) です。
2. シュミットの地図：位相と体積比
設計者は、位相角 \(\alpha\)、行程容積の比 \(\kappa=V_{swc}/V_{swe}\)、そして熱交換器に必要な死容積の大きさを選びます。シュミットの仕事の式は、これらを一枚の曲面に変えます。基準の圧力と全行程容積の積で割ると、仕事は \(\alpha\)、\(\kappa\)、温度比 \(\tau=T_k/T_h\)、死容積比 \(X\) だけで決まるので、一枚の地図がその形のどのエンジンにも使えます。仕事は \(\alpha=0\) と \(180^\circ\) でゼロになり、その間にただ一つの頂上をもちます。どの頂上になるかは、何を固定するかで決まります。充てん量を決める平均圧力か、壁の厚さを決める最高圧力かです。出力はそのうえで単に \(W f\) です。
計算例. \(\tau=1/3\)、\(X=0.5\)、シリンダが同じ大きさのとき、\(\alpha=90^\circ\) での仕事は \(0.293\,p_{\mathrm{mean}}V_T\) で、\(\kappa=1\) での最良の位相は \(86.7^\circ\) です。ただし、その仕事はクランク軸で作りやすい 90° のときより 0.2% 多いだけです。頂上は \(\alpha=86.6^\circ\)、\(\kappa=1.14\) で 0.295 と、わずかに高いだけです。死容積がまったくないと地図はもっと鋭くなり、頂上は \(\alpha=76.9^\circ\)、\(\kappa=0.66\)、\(0.514\,p_{\mathrm{mean}}V_T\) に移ります。最高圧力で評価すると、死容積なしの最適点は \(\alpha=113^\circ\)、\(\kappa=0.46\) です。地図の上で、高温シリンダ 113 cm³、平均 10 bar のエンジンは一サイクルに 66.3 J の仕事をし、1500 rpm で 1.66 kW です。
注意点. この地図はシュミット解析の仮定をすべて受け継いでおり、実際の最適点は異なります。断熱的な空間、熱交換器の流れの摩擦、大きな再生器の費用が、どれも最良の設計を動かします。ここでは死容積を冷却器、再生器、加熱器に 1:2:1 で分け、すきま容積はゼロとしています。曲面の高さは一つの正規化の中では縮尺どおりですが、二つの正規化の間では比べられません。
なぜ死容積があると最良の位相角が 90° に近づくのですか？
死容積は体積がまったく変わらないガスなので、圧力の振れを弱めます。\(b\) が小さくなり、圧力はほぼ \(p_{\mathrm{mean}}(1-b\cos(\theta+\beta))\) になります。\(b\) が小さい極限では、仕事はおよそ \(\pi p_{\mathrm{mean}}b\) に行程容積と位相の正弦を掛けたものになり、膨張の仕事 \(\propto\sin(\alpha-\beta)\) は二つの体積の波が直交するとき最大になります。そのため振れが小さくなるほど最適点は 90° に近づきます。
3. 再生器：サイクルの心臓
理想スターリングサイクルでは、ガスは定積で \(T_c\) から \(T_h\) まで加熱され、後でまた冷やされます。その熱 1 キログラムあたり \(c_v(T_h-T_c)\) は、高温の等温線で受け取る熱より大きく、加熱器がそれを供給しなければならないなら効率は大きく下がります。再生器が代わりにそれを蓄えます。細い金網のマトリクスで、温度が流れに沿って低温から高温へ変わっています。低温側へ向かうガスは熱を金網に置いていき、戻ってくるガスがそれを拾います。有効度 \(\varepsilon\) は返される割合で、残りは加熱器が補います。温度計をドラッグして、\(\varepsilon\to1\) のときに限って効率がカルノー効率に近づくのを見てください。
計算例. ヘリウム（\(R=2077\) J/kg·K、\(\gamma=5/3\) なので \(c_v=3116\)）が 300 K と 900 K の間で体積比 2 のサイクルをすると、1 キログラムあたりの仕事は \(W=2077\times600\times\ln2=864\) kJ で、高温の等温線で 1296 kJ を受け取ります。定積加熱は \(3116\times600=1869\) kJ で、その 1.44 倍です。再生器がなければ \(\eta=864/(1296+1869)=27.3\%\) です。\(\varepsilon=0.9\) なら加熱器が補うのは 187 kJ だけで \(\eta=58.3\%\)、0.95 では 62.2% で、カルノー効率 66.7% に達するのは \(\varepsilon=1\) のときだけです。\(\varepsilon=0.9\) では、ガスは 840 K で加熱器に着きます。
注意点. これは二本の等温線と二本の等積線からなる理想スターリングサイクルで、再生器以外の損失はすべて無視しています。\(\varepsilon=\mathrm{NTU}/(1+\mathrm{NTU})\) の関係は、直線的な温度分布をもつ釣り合った対向流の再生器で成り立ちます。実際の再生器は長さ方向の熱伝導でも熱を失い、ポンプの仕事もかかるので、金網は細かくしても限りなく積むわけにはいきません。図の粒子の動きは模式的ですが、温度は直線的な分布に従っています。
再生器はなぜ仕事を変えず、効率だけを変えるのですか？
仕事はサイクルの面積で、二本の等積線は何も寄与しません。体積が変わらなければ仕事もありません。再生器が決めるのは、等積の熱をマトリクスと加熱器のどちらから得るかだけです。再生器が完全なら、外から買う熱は高温の等温線上の \(RT_h\ln r\) だけで、\(W/Q=1-T_c/T_h\) です。