恒星天体物理：星の輝きと死

計算例. 太陽の 10 倍の質量の主系列星では \(L=1.4\,M^{3.5}=4400\,L_\odot\)、\(R=M^{0.6}=4.0\,R_\odot\) なので、\(T_{\rm eff}=5772\,{\rm K}\,(L/R^2)^{1/4}=23{,}600\) K の青白い B 型星で、スペクトルのピークは \(\lambda_{\max}=2.898\times10^{-3}/23600=123\) nm の紫外線にあります。寿命はおよそ \(10\ {\rm Gyr}\times10/4400=23\) Myr で、燃料は 10 倍あるのに太陽の約 400 分の 1 です。

注意点. ここに描いた質量光度関係と質量半径関係は経験的な近似です（四つの質量範囲で \(L\propto M^{2.3}\)、\(M^{4}\)、\(M^{3.5}\)、\(M\)、また \(R\) は太陽質量以下で \(M^{0.9}\)、以上で \(M^{0.6}\)）。精度は数十 % で、実際の星は組成と年齢によってばらつき、年を取るにつれて出発点から右上へずれていきます。図中の既知の星は概算値です。色は黒体の色で、実際の恒星のスペクトルはそれにおおよそしか従いません。寿命は水素の 10% が 0.7% の効率で燃えるものとして計算しています。

計算例. 太陽を \(n=3\) のポリトロープとみなすと（\(M=1\,M_\odot\)、\(R=1\,R_\odot\)、\(\mu=0.6\)）、\(\xi_1=6.897\)、\(\rho_c/\bar\rho=54.18\) なので \(\rho_c=54.18\times1.41=76\) g/cm³ です。中心圧力は \(P_c=11.05\,GM^2/R^4=1.2\times10^{16}\) Pa、中心温度は \(T_c=11.8\) MK です。質量の半分は \(r=0.283\,R\) の内側にあり、重力エネルギーは \(|\Omega|=1.5\,GM^2/R\) です。

注意点. ポリトロープは構造のモデルであって、構造の計算ではありません。実際の太陽の \(\rho_c\approx150\) g/cm³、\(T_c\approx15.7\) MK で、組成と不透明度が半径とともに変わるので、一つの n では表せません。ここではガスを一定の平均分子量 μ の理想気体とし（電離した太陽組成で 0.6、純水素で 0.5、純ヘリウムで 4/3）、\(T\propto P/\rho=\theta\) としています。放射圧と縮退は無視しています。n ≥ 5 では有限の半径で密度がゼロになる解がないので、n は 4.5 までにしています。

計算例. \(\mu_e=2\)、中心密度 \(10^6\) g/cm³ のとき、電子の運動量は \(x_c=p_F/m_ec=0.80\) で、相対論的になり始めた程度です。流体静力学的平衡を外側へ積分すると \(M=0.40\,M_\odot\)、\(R=1.72\,R_\oplus=11{,}000\) km になります。\(3\times10^7\) g/cm³ では質量が \(1.0\,M_\odot\) に達し、半径は \(0.88\,R_\oplus\) まで縮み、シリウス B とほぼ同じです。限界は炭素・酸素で \(M_{\rm Ch}=5.83/4=1.46\,M_\odot\)、鉄（\(\mu_e=2.15\)）で \(1.26\,M_\odot\) です。

注意点. これは冷たく、自転せず、ニュートン重力で、電子が相互作用しない、チャンドラセカール（1935）の星です。実際の白色矮星は温かいのでわずかに大きく（観測されるシリウス B は曲線より約 5% 大きく、点は概算の観測値で描いています）、さらにクーロン引力、一般相対性理論、逆ベータ崩壊（10⁹ から 10¹⁰ g/cm³ 付近で効き始めます）により、曲線が M_Ch に届く前に実際の星は不安定になります。したがって曲線の右端は理想化した極限で、実際の星が到達する状態ではありません。純水素（μₑ = 1）は思考実験です。