ISEGORIA / 数学百科事典
超伝導：ゼロ抵抗と磁束の排除
鉛、ニオブ、ある種のセラミックスを臨界温度より下に冷やすと、二つのことが同時に起こります。電気抵抗が消え、磁場が内部から押し出されます。より深いのは後者です。完全導体なら、もっていた磁場を閉じ込めるだけですが、超伝導体は磁場を追い出します。したがって超伝導状態は、非常によい金属というだけではなく、それ自身の自由エネルギーをもつ物質の相です。ロンドンは、超伝導電流をベクトルポテンシャルに結びつける一つの方程式でこの排除を説明し、磁場が表面から侵入長の範囲で消えることを見出しました。ギンツブルグとランダウは、物質がその位相を選ばなければならない複素数の秩序パラメータで転移を記述し、アブリコソフは、多くの物質で磁場が渦糸の格子として入り、それぞれがちょうど一つの磁束量子 h/2e を運ぶことを示しました。
前提知識: 電磁気学（マクスウェル方程式、ベクトルポテンシャル）、熱力学、複素数
予想してから操作し、各実験の練習問題で理解を確かめてください。練習問題は三つの難易度で毎回新しく生成されます。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 球のマイスナー効果
ロンドンは、超伝導電流がベクトルポテンシャルに比例する \(\mu_0\lambda^2\mathbf J=-\mathbf A\) と提案しました。これをアンペールの法則と組み合わせると \(\nabla^2\mathbf B=\mathbf B/\lambda^2\) となり、金属の内部で磁場は侵入長 \(\lambda\)、ふつう 50 から 500 nm の範囲で減衰します。一様な磁場の中の球では、この方程式を厳密に解けます。外側の磁場は、加えた磁場と、それと逆向きの磁気双極子の磁場の和です。内側は表面で最大になる変形球ベッセル関数で、二つは表面でなめらかにつながります。ここでは球の大きさを、絶対零度での侵入長 \(\lambda_0\) を単位に固定しています。Tc に向けて温めると \(\lambda\) が大きくなり、やがて排除が効かなくなります。
計算例. 半径が侵入長の 12 倍、\(R=12\lambda_0\) の球を、臨界温度の半分の温度で考えます。\(\lambda=\lambda_0/\sqrt{1-0.5^4}=1.033\lambda_0\) で、\(R/\lambda=11.62\) です。誘導モーメントは完全反磁性体の \(1-3/11.62\times\coth11.62+3/11.62^2=0.764\) 倍です。厚さおよそ \(\lambda\) 一つ分の外殻に、磁場が一部侵入するからです。赤道のすぐ外の磁場は \(1.382B_0\) で、理想の 1.5 には届かず、中心では \(2\times10^{-4}B_0\) です。\(t=0.9\) まで温めると \(\lambda\) は \(1.71\lambda_0\) に伸び、モーメントは 0.634 に下がり、中心の磁場は \(0.012B_0\) に上がります。半径が侵入長の 40 倍の球は、\(t=0\) で 0.927 を保ちます。
注意点. これは \(\lambda(T)\) に二流体の法則を使ったロンドンのモデルです。超伝導体を局所的で線形な媒質として扱い、\(\lambda\) がコヒーレンス長よりずっと大きいとき（第二種、ロンドン極限）に正確です。加える磁場は臨界磁場よりずっと小さいと仮定しているので、球は全体が超伝導のままです。実際の球は、赤道の磁場が臨界磁場に達すると中間状態に入ります。Tc より上の常伝導金属は非磁性として描いています。遮蔽電流の輪は電流の向きを表しており、実際の電流は外殻全体に \(\sin\theta\) に比例して広がっています。
なぜ赤道で磁場が最も強いのですか？
球を通り抜けるはずだった磁束は球を回り込まなければならず、赤道の横のすき間に押し込められます。完全反磁性体では表面で B の法線成分がゼロになり、接線成分は \(\tfrac32B_0\sin\theta\) で、\(\theta=90^\circ\) で最大です。第一種の球が、臨界磁場の三分の二でまず赤道から磁場を入れはじめるのはこのためです。
2. ギンツブルグ・ランダウ：最小の輪
ギンツブルグとランダウは、超伝導状態を複素数の秩序パラメータ \(\psi\) で記述しました。\(|\psi|^2\) は超伝導電子の密度で、その位相が電流を流すものです。Tc の近くでは自由エネルギーを \(|\psi|^2\) のべきで展開でき、\(a|\psi|^2+\tfrac b2|\psi|^4\) となります。\(a\) は Tc で符号を変えます。Tc より上では最小は \(\psi=0\) にあります。Tc より下では最小は円 \(|\psi|^2=-a/b\) になり、物質はその上の一点に落ち着かなければなりません。位相の対称性が破れるのです。得られるエネルギーは \((T_c-T)^2\) で下がるので、その二階微分である比熱は、潜熱なしに Tc で跳びます。これが二次転移です。
計算例. \(a_0T_c=b=1\) の単位で、\(t=T/T_c=0.6\) では係数は \(a=-0.4\) なので、最小は \(|\psi|^2=0.4\)、\(|\psi|=0.632\) にあり、\(f_s-f_n=-0.4^2/2=-0.08\) です。Tc までの距離を半分の \(t=0.8\) にすると、\(|\psi|^2\) は半分の 0.2 になり、凝縮エネルギーは四分の一の \(-0.02\) になります。\(-a_0^2(T_c-T)^2/(2b)\) を二回微分して \(-T\) をかけると、Tc での熱容量の跳びは \(a_0^2T_c/b\) です。アルミニウムでは常伝導の \(\gamma T_c\) のおよそ 1.4 倍で、BCS 理論が予言する 1.43 に近い値です。コヒーレンス長は \(\xi_0/\sqrt{1-t}\) で伸び、\(t=0.6\) では 1.58\(\xi_0\) です。
注意点. この展開は、\(|\psi|\) が小さい Tc の近くでだけ成り立ちます。曲線は形を見せるために \(t=0\) まで描いていますが、本当の秩序パラメータは飽和し、低温では比熱が指数関数的に下がります。コヒーレンス長と侵入長を与える空間勾配の項と磁場は、曲面には入れていません。示しているのは一様な状態だけです。熱容量は弱結合 BCS の跳びに合わせた尺度です。
どの位相もエネルギーが同じなら、なぜ位相が問題になるのですか？
一様な位相にはエネルギーがかかりませんが、空間的に変わる位相にはかかります。勾配の項 \(\frac{\hbar^2}{2m^*}|(\nabla-\tfrac{2ie}{\hbar}\mathbf A)\psi|^2\) が、ねじれごとに代価を課します。超伝導電流はまさに位相の勾配で \(\mathbf J\propto|\psi|^2(\hbar\nabla\theta-2e\mathbf A)\) となり、位相はどの輪を一周しても元に戻らなければならないので、超伝導体の輪を通る磁束は \(h/2e\) を単位に量子化されます。
3. 渦糸と磁束量子
侵入長とコヒーレンス長の比 \(\kappa=\lambda/\xi\) が \(1/\sqrt2\) より大きい第二種超伝導体では、下部臨界磁場 Hc1 より上で、磁場が細い管として入る方が得になります。各渦糸は半径 \(\xi\) の常伝導の芯をもち、そのまわりの超伝導電流が、ちょうど一つの磁束量子 \(\Phi_0=h/2e\) を \(\lambda\) の数倍の範囲に閉じ込めます。ロンドン理論では一つの渦糸の磁場は \(\Phi_0K_0(r/\lambda)/(2\pi\lambda^2)\) です。渦糸は互いに反発し、アブリコソフはそれが格子をなすことを示しました。エネルギーが最も低いのは三角格子です。平均磁場は単位胞あたり一つの磁束量子なので、間隔は磁場だけで決まります。磁場が Hc2 に近づくと芯が密集し、やがて超伝導は失われます。
計算例. MRI の磁石の線材であるニオブ・チタンは、\(\lambda\approx300\) nm、\(\kappa=\lambda/\xi\approx60\) なので \(\xi=5\) nm です。上部臨界磁場は \(\Phi_0/(2\pi\xi^2)=2.068\times10^{-15}/(2\pi\times25\times10^{-18})=13.2\) T、下部臨界磁場はおよそ \(\Phi_0\ln60/(4\pi\lambda^2)=7.5\) mT です。平均磁場 0.0395 T では渦糸の間隔は \(a=\sqrt{2\Phi_0/(\sqrt3\bar B)}=246\) nm、つまり 0.82\(\lambda\) です。隣りあう渦糸の磁場が重なるので、間の磁場は平均の 97% までしか下がりません。
注意点. ロンドンの渦糸の磁場は中心で対数的に発散します。図では芯の半径 \(\xi\) で打ち切っており、ロンドンのモデルが正しいのは芯どうしが十分に離れている間（\(\bar B\ll H_{c2}\)）だけです。Hc1 の式は \(\kappa\) が大きいときの主要項です。実際の格子は欠陥にピン止めされてゆがんでおり、そのおかげで超伝導線は、渦糸が流されてエネルギーを散逸することなく電流を運べます。
なぜ磁束量子は h/e ではなく h/2e なのですか？
秩序パラメータが電荷 \(2e\) の電子の対を表すからです。渦糸を一周すると \(\psi\) の位相は \(2\pi\) 変わらなければならず、芯から遠くでロンドンの電流が消えるのは \(2e\oint\mathbf A\cdot d\boldsymbol\ell=2\pi\hbar\)、つまり \(\Phi=h/2e\) のときだけです。1961 年にディーバーとフェアバンク、ドールとネーバウアーが測った値は、クーパー対の初期の直接的な証拠になりました。