結び目理論：絡まりを見分ける

計算例. 閉じた組みひも \(\sigma_1\sigma_2\sigma_1\sigma_2\) は正の交点四つで描いた三葉結び目なので、ライズは \(4\)、行列式は \(3\) です。標準的な交点三つの三葉結び目はライズ \(\pm3\) で、行列式は同じです。R1 のねじりの後、読み出しは交点 \(5\)、ライズ \(5\)、行列式 \(3\) を示し、R2 の後は交点 \(6\)、ライズ \(4\)、行列式 \(3\) を示します。

注意点. この定理は、等しい結び目は移動の列でつながっていると言うだけで、列の長さを抑えてはくれません。図は単純になる前にいったん複雑にならざるを得ないこともあります。不変性は必ず一つの移動ごとに証明されます。R3 で三本のひもが一点に集まる一瞬だけ、図は正則ではなく、読み出しは一時的に三重点を数えます。

計算例. 三葉結び目では行列の行が \((2,-1,-1)\)、\((-1,2,-1)\)、\((-1,-1,2)\) で、小行列式 \(\begin{vmatrix}2&-1\\-1&2\end{vmatrix}=3\) が行列式です。\(\mathbb F_3\) 上では行はすべて \((1,1,1)\) の倍数なので核の次元は \(2\)、三彩色は \(3^{2}=9\) 通りで、自明なものが \(3\) 通り、三色すべてを使うものが \(6\) 通りです。8の字結び目では小行列式が \(5\) で \(\gcd(3,5)=1\) なので、すべての交点を満たすのは一色で塗る三通りだけです。

注意点. 彩色可能性は粗い判定法です。三葉結び目とステベドア結び目 \(6_1\) はどちらも三彩色が九通りで、8の字結び目、五つ葉結び目、自明な結び目はどれも三通りです。行列式はこれらの組のいくつかを区別しますがすべてではなく、結び目 \(6_1\) と \(9_{46}\) は同じ行列式をもちます。三葉結び目とその鏡像は、このページのどの量でも区別できません。総当たりで彩色を数えるには弧の数 \(a\) に対して \(n^{a}\) の手間がかかるので、読み出しは \(n=7\) で止めています。

計算例. \(T(3,4)\) では \(\Delta(t)=\dfrac{(t^{12}-1)(t-1)}{(t^{3}-1)(t^{4}-1)}=t^{6}-t^{5}+t^{3}-t+1\) で、次数は \(6=2g\)、\(g=3\)、交点数は \(\min(9,8)=8\) です。閉じた 3 本組みひも \((\sigma_1\sigma_2)^{4}\) の交点はちょうど \(8\) なので、その描き方は最小です。\(T(2,3)\) では \(\Delta=t^{2}-t+1\)、\(g=1\) で、三葉結び目は穴が一つのトーラス面を張ります。

注意点. 種数の公式はザイフェルトによるもので、結び目解消数はクロンハイマーとムロウカの定理（ミルナー予想）です。どちらにも初等的な証明はなく、読み出しは曲線から計算するのではなく、これらの定理を引用しています。アレクサンダー多項式は単元 \(\pm t^{k}\) を除いてしか定まりません。成分が \(d>1\) の絡み目では、読み出しは一変数に簡約した多項式 \((t-1)(t^{pq/d}-1)^{d}/((t^{p}-1)(t^{q}-1))\) とファイバー曲面の種数 \(((p-1)(q-1)+1-d)/2\) を示し、結び目解消数の公式は結び目に限って述べています。この図の交点は \(q(p-1)\) 個なので、最小になるのは \(p\le q\) のときだけです。