ISEGORIA / 数学百科事典
代数的位相幾何：穴を見つける
複体を作り、閉路と穴を区別し、尺度を変えて調べます。
前提知識: 集合・グラフ・初歩的な線形代数
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 複体を作る
正方形を単体1つずつ組み立てます。4つの頂点、4本の辺、対角線、最後に2枚の三角形です。図の横には2元体上の境界行列を示します。新しい辺は2つの連結成分をつないで rank ∂₁ を増やし β₀ を減らすか、閉路を閉じて β₁ を増やします。面を1枚加えるごとに閉路が1つ境界になります。
計算例. 4辺を加えた後は V = 4、E = 4、rank ∂₁ = 3 なので β₀ = 1、β₁ = 1 です。対角線で β₁ = 2 になり、2枚の三角形で 0 に戻ります。
注意点. 描かれた閉路が必ず穴を表すとは限りません。面の境界かもしれません。
面を埋めても連結成分の数が変わらないのはなぜですか？
β₀ = V − rank ∂₁ には面が現れないからです。面の境界はすでに1つの連結成分に含まれています。
2. 尺度を変えて穴を見る
各点のまわりに直径 ε の円板を置き、円板が触れ合う2点を結び、3辺がそろった三角形をすべて埋めます。ε を大きくすると連結成分が合流し、ループが生まれてやがて埋まります。バーコードは各特徴が現れる ε から消える ε までを記録したもので、2元体上で境界行列を簡約して計算します。点をドラッグすると点群の形を変えられます。
計算例. 単位円上に等間隔に並んだ8点では、ε ≈ 0.765 で隣どうしが結ばれて八角形ができ、β₁ = 1 です。このループは ε ≈ 1.848 で3つ隣の点を結ぶ三角形に埋められるまで生き残ります。
注意点. 表示は2次元骨格のみです。H₀とH₁には十分ですが、高次のホモロジーには不十分です。
閾値を大きくすると穴が消えるのはなぜですか？
新しい三角形が、それまで境界でなかった閉路を埋めるため、その類は H₁ で消えます。
3. オイラー標数
三角形分割された曲面を選び、頂点・辺・面を数えます。交代和 V − E + F は、境界行列から計算したベッチ数の交代和と一致します。再生を押すと三角形を1枚ずつ置いていきます。2つの和は完成した曲面だけでなく、どの段階でも一致します。
計算例. 四面体の表面は 4 − 6 + 4 = 2 で β = (1, 0, 1) です。3×3 のトーラスは 9 − 27 + 18 = 0 で β = (1, 2, 1) です。
注意点. ここでの球面は四面体の表面であり、中身の詰まった立体ではありません。ベッチ数は2元体上で計算しています。χ はどの体で計算しても同じです。
円板のオイラー標数が1なのはなぜですか？
連結成分が1つで、正の次元のホモロジーがないためです。