ISEGORIA / 数学百科事典
音響学：弦、板、動く音源
音は小さな圧力の波で、その面白さのほとんどは境界と運動から生まれます。弦をどこで弾くかで、決して鳴らせない倍音が決まり、弓は弾くのとも打つのとも違う、めぐり続ける一つの折れ目を保ちます。振動する板は自分の定在波を砂で描きます。そして動く音源は前方の波面を押し縮め、音速を超えると波面は円錐に折りたたまれます。
前提知識: 波動方程式、フーリエ級数、定在波
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. どこを弾くかで聞こえる音が決まる
両端を固定した弦は sin(nπx/L) というモードでしか振動できず、その周波数は基音の n 倍です。ある点で弾くと、最初の三角形はこれらのモードの和になり、振幅は sin(nπβ)/n² に比例します。β は弾く点の位置を長さに対する割合で表したものです。弾く点に節があるモードはまったく励起できません。細いハンマーで打つとすべてのモードに同じ衝撃が加わるので、倍音は 1/n でしか減りません。弓はまた別のことをします。弦は弓に張り付き、それから滑り戻り、その結果がヘルムホルツ運動です。一つの鋭い角が、一周期に一回、二つの放物線をめぐって走ります。励起の仕方を選び、弦に沿って点をドラッグし、スペクトルと弦が駒に及ぼす力を比べてください。
計算例. 440 Hz のヴァイオリンの A 線を \(\beta=1/5\) で弾くと、第 5、第 10、第 15 倍音（2200、4400、6600 Hz）がなく、振動エネルギーの 43.8% が基音にあります。真ん中で弾くと奇数次の倍音だけが鳴り、基音は \(8/\pi^2=81.1\%\) を占めます。\(\beta=0.1\) で弓を当てると、弓の下の弦は各周期の 90% は弓とともに動き、弓の速さの 9 倍で滑り戻ります。弓を 0.2 m/s で引けば滑りは 1.8 m/s です。理想的なヘルムホルツ運動では、\(\beta\) によらず基音がエネルギーの \(6/\pi^2=60.8\%\) を占めます。
注意点. ここでの弦は理想的で、完全にしなやかで損失がなく、剛体の両端に固定されています。そのためどの倍音も基音のちょうど整数倍で、形は永遠に繰り返します。実際の弦はわずかに曲げ剛性をもち、上の部分音を高めます（ピアノではそれが顕著です）。また駒は剛体ではなく、それが音が外へ出る道です。ヘルムホルツ運動の角は完全に鋭く描いていますが、実際のヴァイオリンでは弓の幅と弦の剛性で丸まり、ラマンは張り付きの間に小さな波打ちがあることを示しました。時間軸は大幅に遅くしています。
長さの五分の一の所で弾くと、なぜ第 5 倍音が欠けるのですか？
モード 5 は \(x=L/5,2L/5,\dots\) に節をもつので、弦を引っ張ったちょうどその場所でその形は 0 です。モードの振幅は初期の形とモードの重なり \(\int y_0(x)\sin(5\pi x/L)\,dx\) で、三角形ではこの重なりは角でのモードの値 \(\sin(5\pi\beta)=\sin\pi=0\) に比例します。同じ節を共有する第 10、第 15 などすべての倍数についても同じことが成り立ちます。
2. クラドニ図形
1787 年、エルンスト・クラドニは中心を固定した金属板に砂をまき、その縁を弓でこすりました。板は固有振動数の一つで鳴り、砂は動く部分から跳ね飛ばされ、静止したままの節線に沿って落ち着き、定在波を描きました。縁が自由な正方形の板のモードには厳密な式がありませんが、昔からの近似 cos(mπx)cos(nπy) ± cos(nπx)cos(mπy) が模様をとらえます。それぞれの積だけでは節線はまっすぐですが、プラスとマイナスの組み合わせはそれを輪や対角線や星形に曲げます。一覧でモードを選び、符号を切り替え、再生を押して砂をまいてください。
計算例. 自由な正方形板の最も低い三つのモードを見ると、この近似が目安にすぎない理由がわかります。中央線に沿って十字の節線をもつモード (1, 1) は、板のねじれです。組 \((2,0)\pm(0,2)\) は二つの有名な図形を与えます。マイナスの符号では \(\cos2\pi x=\cos2\pi y\) となり、節線は二本の対角線です。プラスの符号では閉じた輪になります。ここではどちらも \(m^2+n^2=4\) で、ねじれのモードの二倍です。ポアソン比 0.3 の板についてのリーサの正確な値では、それぞれねじれのモードの約 1.46 倍と 1.80 倍で、自由端がこの組を分けています。
注意点. 模様は昔からの近似であり、厳密解ではありません。余弦の積は、自由端に必要なように縁で傾きが 0 になりますが、そこで曲げモーメントとねじりの力まで 0 にはしないので、周波数はおおよそしか合わず、縁の近くでは模様がゆがむものもあります。砂は、その場の振幅とともに歩幅が大きくなるランダムウォークとして動かしており、それだけで節線へ追い込むのに十分です。実際の砂は放物運動で跳ねます。ファラデーが示したように、とても細かい粉は空気の流れに運ばれて、逆に腹に集まることがあります。
あるモードの + 版と − 版は、なぜ同じ周波数で別の図形を描くのですか？
\(\cos m\pi x\cos n\pi y\) と \(\cos n\pi x\cos m\pi y\) は \(m^2+n^2\) が同じ別々の定在波なので、近似の中では周波数が同じで、その任意の組み合わせもまたモードになるからです。正方形の対称性は、\(x\) と \(y\) の入れ替えについて対称な組み合わせと反対称な組み合わせを選び出し、これらは別々の節線を描きます。反対称なものは必ず対角線 \(x=y\) を節線にもちます。実際の板では自由端が二つの積を結びつけ、二つの組み合わせをわずかに違う周波数へ押し分けます。
3. ドップラー効果とマッハ円錐
動く音源は新しい場所から山を出し続けるので、前方の山は詰まり、後方の山は広がります。近づくサイレンは高く、遠ざかるサイレンは低く聞こえます。聴き手に聞こえるものは、音が出された瞬間の音源の運動方向と聴き手への方向のなす角 θ で決まり、f′ = f/(1 − M cos θ) です。M は音源の速さを音速で割ったものです。M = 1 では前方の山が積み重なって一枚の壁になります。それを超えると音源は自分の音を追い越し、山は sin μ = 1/M を満たす半頂角 μ の円錐に折りたたまれます。聴き手は円錐がブームとともに通り過ぎるまで何も聞かず、その後は二つの音を同時に聞き、その一方は逆再生です。マッハ数を変え、聴き手をドラッグしてください。
計算例. 25 m/s で 700 Hz を鳴らす救急車では \(M=25/343=0.0729\) です。真正面から近づくと \(700/(1-0.0729)=755\) Hz、遠ざかると \(700/1.0729=652\) Hz に聞こえ、約 2.5 半音下がります。マッハ 2 のコンコルドのマッハ角は \(\mu=30^\circ\) でした。高度 15 km を飛ぶとき、そのブームが地上の聴き手に届いたのは、機体がすでに \(15\sqrt{M^2-1}=26\) km 先にいるときでした。
注意点. 音源は、音速が一様な静止した空気の中を一定の速さで直進し、モデルにしているのは山の到着時刻だけで、大きさではありません。式は音が出たときの角度を使います。音が届く頃には音源は先へ進んでいるので、目に見える角度は違います。実際のブームは固い物体が押しのける圧力から生まれ、大気の温度の層で形を変え、N 字形の二重の破裂音として届きます。また動く聴き手にもドップラー偏移は聞こえますが、それは別の式に従います。
なぜ超音速機の音は、ブームの後に逆再生で届くのですか？
飛行機が自分の音を追い越すので、後から出た音が先に届くことがあるからです。到着時刻 \(t_{\rm arr}(t_e)\) は \(\cos\theta=1/M\) となる放出のところで最小になり、その最小がブームで、経路のある区間からの音が一度に届きます。その後は各到着時刻に二つの放出が対応します。一つはブームの放出より後のもので正しい順に聞こえ、もう一つはそれより前のもので \(dt_{\rm arr}/dt_e<0\) なので、それ以前に近づいていたときの音は逆の順に届きます。