ISEGORIA / 数学百科事典
リーマン面：多価関数のすみか
複素数の平方根には値が二つあり、一方を原点のまわりにたどると、もう一方に変わります。リーマンの答えは、そのような関数を平面上の多価関数として扱うのをやめ、それが一価になる新しい曲面を作ることでした。何枚かのシートを、切れ目に沿って交差させて貼り合わせるのです。分岐点がシートのつながり方を決め、できた曲面の位相（種数）は分岐点を数えれば決まります。そして最も単純な閉じたリーマン面である球面の上では、メビウス変換が回転や流れとしてはたらきます。
前提知識: 複素数、複素対数、オイラー標数
予想してから操作し、各実験の練習問題で理解を確かめてください。練習問題は三つの難易度で毎回新しく生成されます。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 平方根と対数は曲面の上に住む
\(\sqrt z\) の値を一つ選び、z が輪の上を動くあいだ連続的にたどります。輪が 0 を回らなければ最初の値に戻り、一回まわれば符号の反転した値に戻ります。つまり \(\sqrt z\) は、0 から出る半直線に沿って切った平面を二枚用意し、交差させて貼り合わせた曲面の上の関数なのです。立方根には三枚のシートが必要で、対数には無限枚が必要です。一回まわるごとに \(2\pi i\) が加わるので、らせん階段のように積み重なります。3D 表示では、平面の各点の上にすべての分枝の Im w をまとめて描いています。輪を動かし、大きさを変え、何回か回してください。
計算例. \(z=1.3\)、\(w=\sqrt{1.3}=1.140\) から出発し、0 を囲む中心 0.4、半径 0.9 の円を一周すると、z の偏角は \(2\pi\) 増えるので、w は \(1.140\,e^{i\pi}=-1.140\) で終わります。同じ輪で立方根は \(e^{2\pi i/3}\sqrt[3]{1.3}\) で終わり、二周すると対数は \(4\pi i\approx12.566i\) 増えます。
注意点. 図は \((x,y,\operatorname{Im}w)\) を描いているので、平方根の曲面は負の実軸に沿って自分自身を突き抜けているように見えます。これは本当は実四次元にある曲面を三次元に描いたための見かけで、リーマン面そのものに自己交差はありません。対数では、三周が収まるように高さを \(\theta\) の 0.16 倍にしています。
なぜ答えを変えずに輪を一点に縮めることができないのですか？
縮めるには輪を 0 の上を通過させなければならず、そこでは関数が微分可能でなく、シートが出会っているからです。分岐点から離れていれば、接続した値は輪がそのまわりを何回回るかだけで決まり、その整数は連続的には変われません。
2. シートを貼り合わせる：分岐点と種数
曲線 \(w^2=(z-a_1)\cdots(z-a_n)\) は z 平面の上の二枚のシートからなる曲面を定めます。シートは \(+w\) と \(-w\) を担い、根 \(a_k\) でだけ出会います。一つの分岐点を回る輪はシートを入れ替え、二つを回る輪は元に戻るので、切れ目は分岐点を二つずつ結べばよく、n が奇数なら最後の一つを \(\infty\) と結びます。切れ目を入れた二つの球面を切れ目に沿って交差させて貼り合わせると閉曲面ができ、その種数はリーマン・フルヴィッツの公式から決まります。分岐点をドラッグし、数を変え、輪を動かしてください。
計算例. 分岐点が四つなら切れ目は二本で、切れ目を入れた二つの球面はトーラスに貼り合わされます。\(B=4\)、\(\chi=0\)、\(g=1\) です。三次式 \(w^2=z^3-z\) も \(\infty\) が四つ目の分岐点になるので \(g=1\) で、これは楕円曲線です。根が五つか六つなら \(B=6\) で、穴が二つある曲面になります。
注意点. 3D 表示ではシートを \(\operatorname{Re}w\) のグラフとして描き、大きな値が目立ちすぎないように圧縮して、\(\operatorname{Im}w\) で色を付けています。見える切れ込みは、各シートを一価に保つために描画が曲面を切った場所で、その位置は任意です。種数は切れ目の位置によらず分岐点の数だけで決まります。根は相異なるとしています。
なぜ n が奇数のとき \(\infty\) が分岐点になるのですか？
非常に大きな輪は n 個の根をすべて囲み、それを回ると \(w\) は \((-1)^n\) 倍になるからです。n が奇数なら \(-1\) でシートが入れ替わるので、輪は何かの分岐点を回っているはずで、その外側に残っているのは \(\infty\) だけです。
3. リーマン球面とメビウス変換
平面に点 \(\infty\) を一つ加えると、閉じて球面になります。単位球面の各点を北極から赤道面へ射影し、北極そのものは \(\infty\) に送るのです。この球面の上では、メビウス変換 \(z\mapsto(az+b)/(cz+d)\) がちょうど等角な一対一の写像全体です。各変換は一つか二つの固定点をもち、正規化した行列のトレースの二乗という一つの数が、他のすべての点の動き方を決めます。回転するか、一方の固定点から他方へ流れるか、らせんを描くか、一点で接する円に沿って滑るかです。型、強さ、軸の傾きを選び、球面上の点をドラッグしてください。
計算例. 双曲型の写像 \(z\mapsto e\,z\) の正規化した行列は \(\operatorname{diag}(e^{1/2},e^{-1/2})\) で、\(\operatorname{tr}^2=e+2+e^{-1}=5.086>4\) です。点は 0 から湧き出して \(\infty\) へ流れ込みます。回転 \(z\mapsto iz\) では \(\operatorname{tr}^2=4\cos^2(\pi/4)=2\) です。軸を実軸のまわりに \(30^\circ\) 傾けると固定点は \(0.268i\) と \(-3.732i\) に移ります。これは球面上の対蹠点の組で、トレースは変わりません。
注意点. 各型は標準の位置（固定点が 0 と \(\infty\)、放物型では \(\infty\) だけ）で作り、球面の回転で共役をとっています。球面の回転もメビウス変換で、共役は固定点を動かしますが、型とトレースは保ちます。流れは \(f_1=f\) となる一径数族 \(f_t\) で、\(-1\le t\le1\) の範囲を再生しています。
なぜメビウス変換は円を円に移すのですか？
どのメビウス変換も平行移動、拡大縮小、回転、反転 \(z\mapsto1/z\) の合成で、そのどれもが円と直線を円と直線に移すからです。球面の上では直線は \(\infty\) を通る円にすぎないので、円が円に移るというだけのことになります。