ISEGORIA / 数学百科事典
アダプティブサイクルエンジン：一基で二つの性格
ジェットエンジンは、入ってきたときより速く空気を後ろへ投げ出すことで推力を作ります。そのやり方は二つあり、少しの空気をとても速くするか、たくさんの空気をおだやかに押すかです。前者は小さな機関から大きな推力を得られ、後者は後流に捨てるエネルギーが少ないので燃料が少なくてすみます。従来の戦闘機用ターボファンはコアの流れと一つのバイパス流をもち、一生を一つの妥協で過ごさなければなりません。第六世代戦闘機のために開発中のアダプティブサイクルエンジンは、前方のファン段から空気を受ける外側の第三流路と、飛行中にその流路とコアの間で空気を移す可変形状（モード弁と可変翼）を加えます。効率のよい巡航と待機には高バイパスのモード、推力にはより多くの空気をコアに通す低バイパスのモードを使います。第三流路は機体の電子機器の熱を捨てる吸熱源にもなり、排気の温度を下げます。米国では GE の XA100 とプラット・アンド・ホイットニーの XA101 が適応エンジン移行計画の実証機で、GE は XA100 について推力約 10% 増、燃料効率約 25% 向上、航続距離約 30% 増、熱管理能力約二倍をうたいました。その後継である次世代適応推進計画の GE の XA102 とプラット・アンド・ホイットニー XA103 は、2026 年 5 月にどちらも組立準備審査を通過し、地上試験はこの十年の後半に予定されています。理想サイクル解析を使うと、二つの性格をもつ一基の機関がなぜ複雑さに見合うのかがわかります。
前提知識: 熱力学（ブレイトンサイクル）、初歩の微積分
予想してから操作し、各実験の練習問題で理解を確かめてください。練習問題は三つの難易度で毎回新しく生成されます。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. バイパスのトレードオフ
理想的なターボファンでは、コアが空気を全体圧力比 \(\pi_c\) まで圧縮し、タービン入口温度 \(T_{t4}\) まで燃料を燃やし、タービンは圧縮機とファンに必要な仕事だけを取り出します。残ったエンタルピーがコアの噴流になります。ファンはコアの \(\alpha\) 倍の空気を、ファン圧力比 \(\pi_f\) でコアの外へ押し出します。コア空気 1 kg あたりに燃やす燃料は \(\alpha\) にも \(\pi_f\) にもまったくよらないので、すべては同じ噴流のエネルギーをどう分けるかで決まります。一本の速い噴流は、同じ押しを与える二本の遅い噴流より多くの運動エネルギーを後流に捨てます。だからバイパス空気を増やすと、推力あたりの燃料（TSFC）が下がり、空気 1 kg が生む推力も下がります。あるバイパス比に最良のファンは二本の噴流を同じ速さにし、あるファンに最良のバイパス比はコアの噴流をファンの噴流と飛行速度の平均にします。金色の点を曲面の上で動かし、二本の曲線を見てください。
計算例. マッハ 0.85、高度 11 km（\(T_0=216.65\) K、\(V_0=250.8\) m/s）で \(\pi_c=30\)、\(T_{t4}=1700\) K とすると、\(\tau_r=1.1445\)、\(\tau_\lambda=7.847\)、\(\tau_c=2.643\)、\(f=0.02452\) です。バイパスのないターボジェットの噴流は 1211 m/s で出ていき、比推力 961 N·s/kg、TSFC 25.5 mg/(N·s)、推進効率はわずか 34% です。\(\pi_f=3\)、\(\alpha=0.8\) のファンはコアの噴流を 1149 m/s に下げ、497 m/s のファン噴流を加えます。比推力 608 N·s/kg、TSFC 22.4 mg/(N·s) で、1 N あたりの燃料は 12% 少なくなります。このファンに最良のバイパス比は 7.23 で、そこではコアの噴流が 374 m/s、ちょうど \((497+251)/2\) まで下がります。TSFC は半分の 12.9 mg/(N·s) になりますが、空気 1 kg あたりの推力は 231 N·s/kg しかありません。\(\alpha=5\) に最良のファンは \(\pi_f=3.85\) で、二本の噴流はどちらも 545 m/s です。
注意点. すべての要素は理想的です。圧縮機、タービン、ダクト、ノズルの損失はなく、燃焼は完全で、燃料の質量は空気に比べて無視し、どのノズルもちょうど大気圧まで膨張させます。そのため実際の機関は、1 N あたりこれらの数値より多くの燃料を使います。理想理論では、ファン圧力比を下げるほど最良のバイパス比は限りなく大きくなりますが、実際にはファンとダクトの損失、大きなナセルの重さと抗力が、有限の最適値を決めます。曲面は、同じコアのただのターボジェットより 1 N あたり多くの燃料を使うところで終わります。
なぜ旅客機はバイパス比 10 近くを使い、戦闘機は 1 未満を使うのですか？
旅客機は一生のほとんどを巡航で過ごし、そこでは燃料が主な費用なので、たくさんの空気をおだやかに動かし、大きくて比推力の小さい機関を受け入れます。戦闘機は細い胴体の中に機関を収め、なお戦闘や超音速飛行のための大きな推力を出さなければならず、それには大きな比推力、つまり少ない空気流量からの速い噴流が必要で、その分 TSFC は大きくなります。
2. 三流路の機関
ここでは前方のファン段がすべての空気を控えめな圧力比 \(\pi_{f3}\) まで圧縮します。外側の部分、コア流量の \(\alpha_3\) 倍が第三流路として分かれ、残りはもう一段のファンで \(\pi_f\) まで圧縮されて、コア流量の \(\alpha_2\) 倍の内側バイパスとコアに分かれます。一つのタービンが三つの圧縮をすべて駆動します。モード弁は第三流路の入口にある可変翼の輪で、入口空気流量を変えずに \(\alpha_3\) を決めます。戦闘では閉じて空気の大部分を燃料が燃やされるコアに通し、巡航では開いて大きな割合を遅く冷たい外側の噴流として出します。右の図では、機関の性能が、固定の機関ならどちらかを選ばなければならない二つの隅の間に曲線を描きます。第三流路は熱交換器も通ります。質量流量 \(\dot m_3\) で、許容温度上昇に対して \(\dot m_3c_p\Delta T\) を吸収でき、その熱は噴流を少し速くします。
計算例. マッハ 0.9、高度 11 km で空気 100 kg/s、\(\pi_c=30\)、\(\pi_f=3.8\)、\(\pi_{f3}=2.2\)、\(\alpha_2=0.35\)、\(T_{t4}=1800\) K、熱負荷 400 kW とします。戦闘モード（\(\alpha_3=0.1\)）ではコアが 69.0 kg/s を受けもち、機関は 75.0 kN を 24.5 mg/(N·s) で出します。第三流路は 6.9 kg/s しか運ばないので、負荷はそれを \(400/(6.9\times1.0045)=57.7\) K 温め、許容の 30 K を超えます。30 K での能力はわずか 208 kW です。巡航モード（\(\alpha_3=1.2\)）ではコアが 39.2 kg/s、第三流路が 47.1 kg/s です。推力は 36% 下がって 48.2 kN、TSFC は 12% 下がって 21.7 mg/(N·s)、推進効率は 37.5% から 42.3% に上がり、同じ負荷で第三流路は 8.5 K しか温まらず、30 K での能力は 1418 kW です。
注意点. 形状とモードの予定は一般的な模式で、実在の機関のものではありません。実機の数値は公開されていません。ここではモードで変わるのは \(\alpha_3\) だけですが、実際のアダプティブ機関はファン圧力比、コアの可変翼、ノズル面積も変えます。サイクルは理想的で、どの点も設計点です。固定の機関を絞ったときに受ける設計点外の損失は理想モデルでは示せませんが、アダプティブ機関が避けるものの一部はそれです。機関内部の粒子の速さは模式的で、噴流の中では計算した排気速度です。
モードを変えるとき、なぜ入口空気流量を一定に保つのですか？
インテークは機関の全空気流量に合わせて作られます。巡航のために絞った固定の機関は、インテークが届けるより少ない空気しか吸い込まず、余りはインテークの縁からあふれて抗力になります。アダプティブ機関はその余りを第三流路に通し、そこで少しの推力を加え、熱を運び去り、排気を冷やします。
3. 任務：旅客機のように巡航し、戦闘機のように戦う
巡航区間では、機体は燃料を燃やすにつれて軽くなり、\(dm/dx=-gSm/(V\,L/D)\) を積分するとブレゲーの航続距離の式が得られます。距離は \(1/S\) と質量比の対数に比例します。戦闘区間では代わりに推力が求められ、それを出せない機関は、どれほど燃費がよくてもこの任務をまったく飛べません。ここでは同じコアと同じ空気 100 kg/s をもつ三つの機関が進出し、決めた時間だけマッハ 1.5 でダッシュして帰投します。戦闘モードに固定したアダプティブ機関（固定の低バイパス機関）、巡航モードに固定したもの（固定の高バイパス機関）、そして一方のモードで巡航し他方で戦うアダプティブ機関です。要求ダッシュ推力をドラッグし、再生を押して燃料の減り方を見てください。
計算例. 30 トンの双発機が質量の 30% を燃料として積み、\(L/D=9\) でマッハ 0.9、高度 11 km を巡航するとき、各機関は \(30000\times9.807/(9\times2)=16.3\) kN を出さなければなりません。\(T_{t4}=1800\) K では、低バイパス機関は 24.6 mg/(N·s) で巡航し、ダッシュで 61.7 kN を出せます。高バイパス機関は 21.8 mg/(N·s) で巡航しますが、出せるのは 38.8 kN だけで、要求の 50 kN に足りません。4 分のダッシュ（燃料 611 kg）で、低バイパス機関は 1647 km まで届きます。21.8 で巡航し 61.7 kN でダッシュするアダプティブ機関は 1858 km まで、12.9% 遠くまで届き、短いほうの任務なら燃料が 9.1% 少なくてすみます。巡航 TSFC が 11.4% 低いことが行動半径を説明します。\(1/(1-0.114)=1.129\) です。同じ計算で、1 N あたりの燃料が 25% 少なければ航続距離は \(1/0.75=1.33\) 倍となり、これが公表された組です。理想サイクルだけで、その半分弱が説明できます。
注意点. 飛行条件ごとの各機関の TSFC は、設定したタービン温度でのサイクルから求め、巡航推力まで絞っても一定とします。これは最初の航続距離の見積もりでふつうに使う近似です。入口空気流量は二つの飛行条件で同じとし、\(L/D\) は一定、離陸、上昇、予備燃料、待機は含めていません。公表された数値は完全な新しい機関を既存の機関と比べたものなので、理想サイクルには入れられない改良も含んでいます。ここにあるものは、実在の航空機を表すものではありません。
推力あたりの燃料が 25% 少ないと、なぜ航続距離は四分の一ではなく約三分の一延びるのですか？
ブレゲーの式では、同じ燃料なら航続距離は TSFC に反比例します。TSFC を 0.75 倍にすると航続距離は \(1/0.75=1.33\) 倍になります。つまり「燃料効率約 25% 向上」と「航続距離約 30% 増」は一つの改良の二つの面で、丸めた数値であり、ダッシュのように巡航 TSFC に比例しない任務の部分でぼやけています。