ISEGORIA / 数学百科事典
量子力学：振幅とスピン
波動関数・不確定性・回転できるブロッホ球を探ります。
前提知識: 複素数と波
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 波動関数の密度
無限に高い2枚の壁の間に閉じ込められた粒子です。n を選ぶと、エネルギー準位上の固有状態 ψₙ とその確率密度が表示され、粒子が決して見つからない n − 1 個の節が見えます。隣り合う2準位の重ね合わせに切り替えて時間を進めると、各成分がそれぞれの角振動数 Eₖ/ħ で回るため、密度が壁から壁へと揺れ動きます。橙の2つのハンドルをドラッグすると、その間に粒子が見つかる確率がわかります。
計算例. n = 2 では中央で密度が0になり、中央の5分の1（0.4L < x < 0.6L）に粒子が見つかる確率はおよそ 0.049 しかありません。古典的な粒子なら5回に1回はそこにいるはずです。
注意点. 測定とそれに伴う状態の収縮は扱いません。壁は無限に高いので、ψ は x = 0 と x = L でちょうど0になります。
粒子が最も見つかりにくい場所はどこで、固有状態ではそれが時間とともに変わりますか？
|ψₙ|² = 0 となる節です。固有状態では全体の位相が回るだけなので、密度も節も動きません。密度が変化するのは重ね合わせの場合だけです。
2. 不確定性原理
ガウス波束には位置の確率密度と運動量の確率密度があり、一方を狭めるともう一方が広がります。幅 Δx をドラッグすると Δp = ħ/(2Δx) が応じ、下の平面の点は量子力学が許す最小の積を表す曲線 Δx·Δp = ħ/2 の上にとどまります。再生すると波束は自由に運動し、運動量の密度は変わらないまま位置の幅だけが広がるため、積は下限より大きくなります。
計算例. ħ = 1、Δx = 0.7 のとき、運動量の広がりは Δp = 1/(2 × 0.7) ≈ 0.714 で、積はちょうど 0.5 です。
注意点. 幅は標準偏差です。下限に達するのは位置に依存する位相を持たないガウス波束だけで、広がった後のこの波束を含め、他のすべての状態では積がより大きくなります。
狭い波束ほど速く広がるのはなぜですか？
運動量の広がり Δp = ħ/(2Δx₀) が大きいので、成分がおよそ Δp/m だけ異なる速さで離れていくからです。広がりの時間スケールは 2mΔx₀²/ħ です。
3. ブロッホ球
量子ビットの純粋状態はすべて球面上の1点で表されます。金色の先端をドラッグするか、極角 θ と方位角 φ を設定してください。それ以外の場所をドラッグすると球を回せます。右側には振幅 α と β を複素平面上の矢印で示し、棒グラフで z、x、y 方向に測定したときの各結果の確率を示します。
計算例. θ = 90°、φ = 0 の状態は |+⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2 です。z 方向の測定では 0 と 1 がそれぞれ確率 ½ で出ますが、x 方向の測定では必ず + が出ます。
注意点. 球は状態空間の図であり、実空間を動く粒子の図ではありません。球の対蹠点は直交する状態なので、球面上の角度は状態ベクトル間の角度の2倍になります。
方位角は何を表しますか？
基底振幅の相対位相です。