ISEGORIA / 数学百科事典
能動流れ制御：空気の噴流で操る
翼は循環を変えることで揚力を変えます。百年来、それはフラップを動かすことを意味してきました。能動流れ制御は同じことを空気で行います。後縁近くのスロットから吹き出す薄い噴流です。丸い縁の上に吹き出すと、噴流は曲面に沿って張りつきます。これがコアンダ効果で、曲がった噴流の膜を曲がった道筋に保つには膜の内側の圧力が下がらなければならないからです。噴流は、流れが翼を離れる点を引き連れて回り込みます。鋭い縁ならクッタ条件で固定される後方よどみ点が動き、そのため可動部なしで循環と揚力が変わります。噴流の強さは運動量係数 Cμ で測り、少しの吹き出しが大きく効きます。得られる揚力は噴流自身の推力の何倍にもなります。BAE システムズとマンチェスター大学は、2010 年の DEMON に続き、2017 年に翼に循環制御、推力偏向に流体式の方法を使った無人機 MAGMA を飛ばしました。DARPA の CRANE 計画では、オーロラ・フライト・サイエンシズが X-65 を製作しています。速度およそマッハ 0.7 の無人の実証機で、飛行面全体に 14 個のこうした効果器を備えます。試験と飛行範囲の拡大のために通常の操縦翼面も残しており、2027 年に初飛行の予定です。ステルス機にとっての魅力は、ヒンジ線やすき間のない外板、少ない可動部、軽さです。ここでの実験は、ジェットフラップ理論から始め、空気力学のトピックのジューコフスキー写像の上に循環制御翼を組み立て、こうした機体がみな解かなければならない割り当て問題、つまりパイロットが求めるモーメントを得るにはどの噴流を吹けばよいかで終わります。
前提知識: 空気力学（循環、クッタ条件、ジューコフスキー写像）、複素数、線形代数
予想してから操作し、各実験の練習問題で理解を確かめてください。練習問題は三つの難易度で毎回新しく生成されます。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. ジェットフラップ：空気の膜による揚力
後縁から、翼弦に対して角度 \(\tau\) だけ下に向けた、薄く速い空気の膜を吹き出します。膜は運動量を運び、膜をはさんで圧力が違うときにしか曲がれないので、翼の後ろで荷重を受けもつ、しなやかな翼の延長のようにふるまいます。スペンスは 1956 年にこの薄翼の問題を解きました。揚力は運動量係数 \(C_\mu\)（噴流の運動量流束を動圧と翼面積で割ったもの）とともに、はじめは \(\sqrt{C_\mu}\) のように増えます。下に向けた噴流自身の推力が担うのは \(C_\mu\sin(\tau+\alpha)\) だけで、残りは超循環、つまり噴流が翼全体のまわりに誘導する余分な循環です。動作点をドラッグし、噴流の向きを変えて、ヒンジ式のフラップと比べてください。
計算例. 迎角 \(\alpha=4^\circ\) の翼で、\(\tau=30^\circ\)、\(C_\mu=0.05\) の吹き出しをします。\(\partial C_L/\partial\tau=0.809\)、\(\partial C_L/\partial\alpha=6.564\)（1/rad）なので、\(C_L=0.5236\times0.809+0.0698\times6.564=0.882\) となり、吹き出しなしの \(2\pi\times0.0698=0.439\) と比べられます。噴流が加えるのは \(\Delta C_L=0.443\) で、増強比 \(\Delta C_L/C_\mu\) は 8.9 です。噴流自身の反力 \(0.05\sin34^\circ=0.028\) は、そのわずか 6% です。傾きが 3.83（1/rad）の翼弦 25% の普通のフラップなら、同じことをするのに 6.6° 曲げる必要があります。10 m² の翼が 50 m/s（\(q_\infty=1531\) Pa）で飛び、噴流速度が 200 m/s なら、質量流量は 3.83 kg/s、吹き出しの動力 \(\tfrac12\dot mV_j^2\) は 76.6 kW で、6.78 kN の揚力が増えます。
注意点. スペンスの理論は線形です。\(\tau\) と \(\alpha\) が小さく、無限に薄い噴流が鋭い縁から出て、流れは付着し、非圧縮で二次元だと仮定しています。ウィリアムズ、バトラー、ウッドの内挿公式は、彼の計算値に \(C_\mu=1\) と 4、および \(C_\mu\to0\) の極限で合わせたものです。有限の翼幅の翼では、増えた分の一部が吹き下ろしで失われます。図の噴流の形は模式的ですが、曲線と矢印は計算したものです。
なぜ得られる揚力は噴流の推力よりずっと大きいのですか？
噴流の膜は、膜をはさんで圧力差があるときにしか曲がれないので、自ら荷重を受けもち、翼の後ろに伸びるしなやかなフラップのようにはたらきます。流れが噴流の向きに後縁を離れるには、翼型全体のまわりの流れが余分な循環をもたなければならず、その超循環のクッタ・ジューコフスキー揚力 \(\rho U\Gamma\) は噴流の運動量の何倍にもなります。\(C_\mu\) が小さいとき \(\Delta C_L/C_\mu\approx2\tau\sqrt{\pi/C_\mu}\) です。
2. コアンダ翼：鋭い縁のない循環
後縁を丸めると、クッタ条件は効かなくなります。鋭い縁がなければ、流れが必ずそこから離れるという特別な点がなく、循環は自由です。\(\zeta=1\) から \(\varepsilon\) だけ離れて通る円は、\(z=\zeta+1/\zeta\) によって後縁の丸い断面に写ります。ここで、縁のすぐ手前のスロットから、表面に沿って薄い噴流を吹き出します。噴流の膜は曲がっていて、曲がったまま保つには膜の内側の圧力がおよそ \(\rho u_j^2h/R\) だけ下がらなければならないので、膜は表面に張りつき（コアンダ効果）、外側の流れの後方よどみ点を下面側へ引き回します。これが循環制御です。噴流が離れる場所が \(\Gamma\) を決め、揚力はこれまでどおりクッタ・ジューコフスキーの定理から得られます。はく離点を縁に沿ってドラッグしてください。
計算例. \(\mu=0.04i\)、\(\varepsilon=0.2\) とすると \(a=1.2008\) で、断面の厚さは 18%、縁の半径は翼弦の 1.6% です。もとの鋭い縁の方向は \(\theta=-2.29^\circ\) です。\(\alpha=4^\circ\) でよどみ点をそこに置くと \(\Gamma=4\pi\times1.2008\times\sin6.29^\circ=1.653\) で、翼弦 4.067 から \(C_L=0.813\) です。噴流がさらに 12° 回り込んで \(\theta_s=-14.29^\circ\) ではく離するまで吹くと、\(\Gamma=4\pi\times1.2008\times\sin18.29^\circ=4.736\)、\(C_L=2.329\) となり、何も動かさずに揚力がほぼ三倍になります。表面のまわりで圧力を積分しても同じ 2.329 で、抗力はゼロです。流れは翼弦から 53.6° 下向きに縁を離れ、ジェットフラップ理論によれば必要な吹き出しはおよそ \(C_\mu=0.18\) です。翼弦 0.5 m、30 m/s で、0.8 mm のスロットなら噴流速度は 225 m/s で、噴流は自らをはさんで \(C_\mu q_\infty c/R=11\,q_\infty\) の圧力差を支えます。
注意点. これはよどみ点を手で置いたポテンシャル流です。与えたはく離点がどんな循環を意味するかは分かりますが、噴流がどこではく離するかは分かりません。それは \(C_\mu\)、\(h/R\)、境界層によって決まり、実験で求めます。実際の噴流はまわりの空気を巻き込んで広がり、曲率に対して厚すぎる噴流や、不足膨張の超音速噴流は離れてしまいます。ジェットフラップ理論との対応は、流れが縁を離れる向きを合わせただけの大まかな見積もりで、実測の循環制御翼はたいていもっと少ない吹き出しで済みます。
なぜ循環制御には丸い後縁が必要なのですか？
鋭い縁はクッタ条件によって循環を固定します。噴流が何をしても流れはそこから離れなければならないので、噴流は、ジェットフラップのように縁の後ろで流れを曲げることでしか効けません。丸い縁にはそういう点がありません。噴流はよどみ点を縁に沿って運ぶことができ、それが 1 度動くごとに、\(\Gamma=4\pi Ua\sin(\alpha-\theta_s)\) を通して \(\Gamma\) が連続的に変わります。
3. 14 の噴流と 3 つのモーメント：制御割り当て
補助翼も昇降舵も方向舵もない機体でも、ロール、ピッチ、ヨーは必要です。流体式の効果器では、それを吹き出しで得ます。後縁下面のスロットは流れを下に曲げてその場所の揚力を増やし、上面のスロットは揚力を減らし、翼端での吹き出しは抗力を増やして機首を偏揺れさせます。各効果器のモーメントは力と腕の長さの積なので、モーメントは吹き出しの一次式 \(m=Bu\) で、未知数 14 個に方程式 3 本です。無数にある解のうち、制御器は最も安いもの、つまり \(\|u\|^2\) が最小のものを選びたいのですが、一つ動かせない事実があります。噴流は吹けても吸えないので \(0\le u\le u_{\max}\) です。操縦桿を動かして割り当てを見てください。十分に倒すと効果器は飽和します。
計算例. ヨーだけの場合がいちばん簡単です。抗力を作るのは翼端の二つの効果器だけで、それぞれ腕の長さは \(y/b=0.475\)、\(\Delta C_D=3u\) です。機首右向きの指令 \(C_n=0.002\) は、右翼端だけが \(u=0.002/(0.475\times3)=1.40\times10^{-3}\) を吹けば満たされます。両翼端で吹くと打ち消し合うだけです。操縦桿を右ロール 45%、機首上げ 30%、右ヨー 20% にし、限界を \(2\times10^{-3}\) とすると、割り当て器は右翼を下げるために右の上面スロット三つ（単位 \(10^{-3}\) で 0.55、0.77、0.87）を、反対の翼を上げるために左外側の下面スロット（0.53、隣のスロットが 0.09）を、機首上げを助けるために左内側の上面スロット（0.25）を、そしてヨーのために右翼端（0.42）を吹きます。合計 \(3.48\times10^{-3}\) で、基準の飛行状態ではおよそ 3.8 kg/s の抽気になります。
注意点. 効果器の強さ \(k_i\)、位置、限界は、数学を見せるために選んだ模式的な値です。実際の効果器は非線形で、互いに干渉し、迎角やマッハ数に依存し、遅れて応答します。ここでは揚力用の効果器は抗力を作らず、抗力用の効果器は揚力を作りません。全揚力の変化は迎角で補うものとしています。抽気量は、40 m² の翼が高度およそ 10 km を 200 m/s で飛び、噴流速度が 300 m/s の場合です。機体は一般的な平面形で、実在のどの機種でもありません。
なぜ B の逆行列を使わないのですか？
\(B\) は 3 行 14 列なので逆行列はなく、同じモーメントを与える吹き出しのパターンが 11 次元分もあります。擬似逆行列は \(\|u\|^2\) が最小のものを選びますが、平気で負の成分を返します。それは吹き出し用のスロットで空気を吸い込むことを意味します。\(0\le u\le u_{\max}\) を加えると問題は小さな二次計画問題になり、指令が上下限つきの効果器の届く範囲の外にあるときは、実現できる最も近いモーメントで満足するしかありません。