ISEGORIA / 数学百科事典
連続体力学：固体はどう伸び、曲がり、座屈するか
連続体力学は固体を、どの小さな部分も伸び、せん断し、回転できるなめらかな物体として扱います。変形勾配は各部分がどう動くかを正確に表し、その伸びと回転を分けることがひずみを正しく測る鍵です。細長いはりに当てはめると同じ考えから曲げのオイラー・ベルヌーイ方程式が得られ、圧縮を受ける細長い柱に当てはめると、まっすぐであること自体が不安定になる荷重が予言されます。
前提知識: 線形代数、微積分、ニュートンの法則
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 変形勾配、伸びと回転
物体が変形するときの材料の小さな正方形を追いかけます。変形がなめらかなら、どの点でも十分近くでは線形で、材料のベクトル \(dX\) は \(dx = F\,dX\) になります。F が変形勾配で、その列は正方形の二つの辺の行き先です。このような F はどれも、直交する二方向に沿った純粋な伸び U と、それに続く回転 R にただ一通りに分かれ、ひずみとして数えるべきなのは伸びだけです。辺をドラッグし、それから剛体回転を加えて、どのひずみの尺度がそれに気づくかを見てください。
計算例. \(\gamma=0.6\) の単純せん断 \(F=\begin{pmatrix}1&0.6\\0&1\end{pmatrix}\) は面積を保ちます（\(J=1\)）が、\(\lambda_1=\gamma/2+\sqrt{1+\gamma^2/4}=1.344\) だけ伸び \(\lambda_2=1/\lambda_1=0.744\) だけ縮みます。その軸はその後 \(-16.7^\circ\) 回ります。グリーン・ラグランジュの主ひずみは 0.403 と \(-0.223\) で、微小ひずみの見積もりは \(\pm0.3\) です。30° の剛体回転では \(E=0\) なのに、微小ひずみはどの方向にも \(\cos30^\circ-1=-0.134\) になります。
注意点. ここでの変形は一様で、どこでも同じ F なので、直線は直線のままです。実際の物体では F は点ごとに変わり、この図はそれぞれの無限小の近傍に当てはまります。モールの図は、点を通る各面について、その垂直ひずみとせん断ひずみの半分（ひずみテンソルの成分どおり）を描いています。
微小ひずみ ε は工学のいたるところで使われているのに、なぜ回転のもとでは誤るのですか？
ε は E の一次の部分だからです。\(F=I+H\) と書くと \(E=\varepsilon+\tfrac12H^{\mathsf T}H\) で、角 θ の回転では二次の項の大きさは \(\theta^2/2\) で、見かけの \(\cos\theta-1\) をちょうど打ち消します。ひずみと回転がどちらも小さい、たとえば 1% 未満なら、落とした項は \(10^{-4}\) 未満で ε はすばらしい近似です。ゴム、軟組織、大きく回る細い棒ではそうではありません。
2. はりの曲げ
はりは曲がることで荷重を支えます。片側が伸び、反対側が縮み、応力は中立軸からの距離に比例して増えます。断面は平面のまま軸に垂直であり続けるというベルヌーイの仮定によって、これは一つの方程式になります。曲率は曲げモーメントを曲げ剛性 EI で割ったものに等しく、つり合いと合わせると \(EI\,w^{\prime\prime\prime\prime}=-q\) が得られます。棒の支え方を選び、荷重を置き、たわみ、せん断力図とモーメント図、応力を読んでください。
計算例. 40 × 60 mm の鋼の棒では \(I=bh^3/12=7.2\times10^{-7}\) m⁴、\(EI=144\) kN·m² です。長さ 1 m の片持ちはりの先端に 3 kN の荷重をかけると、たわみは \(PL^3/3EI=6.94\) mm で、根元のモーメントは 3 kN·m です。最も外側の繊維は \(\sigma=Mc/I=3000\times0.03/7.2\times10^{-7}=125\) MPa を負担し、降伏応力の半分です。同じ荷重を単純支持の棒の中央にかけると 0.43 mm、両端固定では 0.11 mm にしかなりません。
注意点. オイラー・ベルヌーイの理論はせん断変形を無視し、傾きが小さいと仮定します。ここでのように、はりの長さが高さのおよそ十倍以上なら正確です。たわみはこれらの荷重と支持についての方程式の厳密解で、閉じた形で書いています。図では両方が見えるように、たわみと高さを誇張しています。
なぜはりの高さを二倍にすると八倍硬くなるのに、幅を二倍にしても二倍にしかならないのですか？
中立軸から遠い材料ほど多くの仕事をするからです。距離 y に比例してひずみ、y に比例して応力を負担し、その応力は腕の長さ y をもつので、剛さへの寄与は \(y^2\) に比例します。高さ h にわたって \(y^2\) を積分すると \(h^3\) になり、幅は同じ帯を増やすだけです。だから I 形鋼は材料のほとんどをフランジに置くのです。
3. 座屈とオイラーのエラスティカ
定規の両端を押すと、まっすぐなままですが、ある時突然横に反ります。オイラーは 1744 年にそれが起こる荷重を見つけました。それより下ではまっすぐな形は安定で、上ではまっすぐな形もつり合ってはいますが、わずかな乱れで棒は曲がります。限界荷重は曲げ剛性と、端の支え方で決まる有効長さ KL だけで決まります。それを超えたときの厳密な形は、やはりオイラーが描いたエラスティカ曲線です。端の条件と長さを選び、小さな曲がりを加え、柱に荷重をかけてください。
計算例. 直径 20 mm の鋼の棒は \(I=\pi d^4/64=7.85\times10^{-9}\) m⁴、断面二次半径 \(r=d/4=5\) mm です。両端ピンで長さ 1.2 m なら細長比は 240 で、\(P_{\rm cr}=\pi^2EI/L^2=10.8\) kN で座屈します。応力はわずか 34 MPa で、降伏の七分の一です。その荷重を超えるとエラスティカはゆっくりと上がります。1% 多い荷重で棒は長さの 8.9% だけ反って端の傾きは 16°、10% 多い荷重で 25% 反って端の傾きは 50° になります。
注意点. エラスティカは完全にまっすぐで伸びない弾性の棒について厳密です。実際の鋼はそのような大きなたわみのずっと前に降伏します。曲がった棒の式 \(\delta_0/(1-P/P_{\rm cr})\) は小さなたわみでしか成り立たないので、図は 0.985 \(P_{\rm cr}\) で止まります。\(P_{\rm cr}\) を超えると完全な棒を示します。ジョンソンの放物線は経験的な設計曲線で、力学の法則ではありません。
なぜ一端を自由にすると柱は四分の一に弱くなり、両端を固定すると四倍強くなるのですか？
座屈した形が同じ曲線の一部だからです。長さ L の固定・自由の柱は、長さ 2L の両端ピンの柱の半分のように曲がるので、有効長さは 2L です。両端固定の柱は各端から四分の一のところに変曲点をもち、中央の半分が長さ L/2 の両端ピンの柱のように曲がります。\(P_{\rm cr}\propto1/(KL)^2\) なので、有効長さを二倍や半分にすると荷重は四分の一や四倍になります。