ISEGORIA / 数学百科事典
ウェーブレット：信号を拡大して見る
フーリエ解析は信号がどの周波数を含むかを教えてくれますが、それがいつなのかについては何も語りません。ウェーブレットは周波数の精度を少しだけ手放して位置を得ます。高い周波数には短い探針、低い周波数には長い探針を使うのです。チャープを追いかけクリックの位置を突き止めるスカログラム、しだいに細かくなる近似を並べたハールとドブシーのはしご、そして跳びのある信号の圧縮と除去でウェーブレットを自然な基底にするしきい値処理を調べます。
前提知識: フーリエ解析と内積空間
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 時間と周波数を同時に
連続ウェーブレット変換は、信号を一つの振動するこぶ、モルレ・ウェーブレットをずらし伸ばした複製と比べます。モルレ・ウェーブレットはガウス型の包絡線の下にある複素正弦波です。b だけずらすことは「いつか」を問い、s だけ伸ばすことは「どの周波数か」を問い、絶対値の二乗 |W(s, b)|² がスカログラムを描きます。ウェーブレットは中身を詰め替えるのではなく伸び縮みするので、含むサイクル数は常に同じです。高い周波数では短いのでクリックを時間の中で鋭く位置づけ、低い周波数では長いのでゆっくりした音を周波数の上で細かく分解します。短時間フーリエ変換に切り替えると、すべての周波数に一つの窓を使うもう一つのやり方が見られます。プローブをドラッグすると、測定に使う原子が見えます。
計算例. \(\omega_0=6\) ではウェーブレットのフーリエ周期は \(\lambda=1.033\,s\) なので、単位あたり 52 サイクルの音はスケール \(s=1/(52\times1.033)=0.0186\) で捉えられます。包絡線 \(e^{-t^2/2s^2}\) の \(\sigma_t\) は記録の \(s/\sqrt2=0.0132\) で、周波数の広がりは \(\sigma_\omega=1/(\sqrt2 s)=38\) ラジアン、つまり \(6.0\) サイクルです。単位あたり 8 サイクルでは枠は \(6.5\) 倍長く、\(6.5\) 倍細くなり、\(\sigma_t=0.086\)、\(\sigma_f=0.93\) です。積 \(\sigma_t\sigma_\omega=1/2\) はどんな信号にも許される最小値で、それに達するのはガウス関数だけです。
注意点. ここで使うフーリエ変換をもつモルレ・ウェーブレットは解析的（負の周波数がない）で、\(\omega_0\ge5\) なら \(10^5\) 分の 1 の精度で許容条件を満たします。より小さな \(\omega_0\) では平均が少しだけ 0 でなくなり、厳密にはウェーブレットではありません。変換は FFT で計算しており、FFT は記録を周期的に扱うので、端の近くではスカログラムが始まりと終わりを混ぜます。信頼できるのは影響円錐の内側だけです。スカログラムは \(s\) で割ってあり、同じ振幅の音が同じ明るさに見えます。この補正がないと \(|W|^2\) は大きなスケールに偏ります。
なぜどんな変換も、完全な時間分解能と完全な周波数分解能を同時には与えられないのですか？
各係数は一つの原子との内積であり、原子は時間と周波数の両方に集中することができないからです。\(g\) の時間の広がりが \(\sigma_t\)、そのフーリエ変換の広がりが \(\sigma_\omega\) なら、\(\sigma_t\sigma_\omega\ge1/2\) です。位置と運動量の波動関数は互いのフーリエ変換なので、これはハイゼンベルクの不等式そのものです。変換にできるのは、面積が少なくとも \(1/2\) の枠で時間周波数平面をどう敷き詰めるかを選ぶことだけです。短時間フーリエ変換はどこでも同じ形を使い、ウェーブレット変換は縦横比が周波数に従う枠を使います。
2. 多重解像度のはしご
正規直交ウェーブレット基底は、近似空間のはしご V₀ ⊂ V₁ ⊂ V₂ ⊂ … として組み立てられます。各段は前の段の二倍細かくなります。スケーリング関数 φ が最も粗い段を張り、何度もずらされ半分にされるウェーブレット ψ が、一段下りるときに失われる詳細をちょうど運びます。低域フィルタ h と高域フィルタ g の一組がすべての仕事をします。畳み込んで一つおきに標本を残すと、信号は半分の長さの平均と半分の長さの詳細に分かれます。平均について繰り返せば高速ウェーブレット変換です。N 個の数を入れて N 個の数を出し、演算は O(N) 回です。ハンドルをドラッグしてより多くの段を残すか、再生を押して近似が一段ずつ鋭くなる様子を見てください。
計算例. ハールは \(h=(1,1)/\sqrt2\)、\(g=(1,-1)/\sqrt2\) を使います。隣り合う組の平均と差です。標本 \((4,6,10,12)\) に一段適用すると \(a=(10,22)/\sqrt2\)、\(d=(-2,-2)/\sqrt2\) となり、エネルギーは一致します。\(16+36+100+144=296=(100+484+4+4)/2\) です。ドブシー 4 は四つのタップ \(h=(0.483,0.837,0.224,-0.129)\) をもち、\(g\) が定数とも直線とも直交するように選ばれています。したがって直線のランプは、周期的な信号が最後の標本から最初の標本へ跳ぶ折り返しの係数を除き、どの段でも詳細が 0 になります。
注意点. ここでの変換は周期的です。信号は一周してつながるものとして扱われるので、両端が一致しない信号は境界で見かけの跳びをもち、それが各行の右端の大きな係数として見えます。境界に適応したウェーブレットは、端の近くで特別なフィルタを使うことでこれを避けます。ドブシーのスケーリング関数は滑らかではありません。\(\varphi^{\rm D4}\) は連続ですが指数約 0.55 のヘルダー連続にとどまり、カスケードが描くぎざぎざの形は標本化の誤差ではなく本物の関数です。
なぜ滑らかな信号の詳細係数は細かい段で小さくなり、跳びの係数は小さくならないのですか？
\(p\) 個の消失モーメントをもつウェーブレットは、次数が \(p\) 未満のすべての多項式と直交します。滑らかな \(x\) を、幅がおよそ \(2^{-l}\) の \(\psi_{l,k}\) の短い台の上でテイラー展開すると、多項式の部分は見えず、残りは \(2^{-lp}\) の大きさなので、規格化のあとで \(|d_{l,k}|\sim2^{-l(p+1/2)}\) となり、係数は等比的に消えていきます。跳びはそれを含むどの区間でも多項式ではないので、各段でそれをまたぐ一つのウェーブレットは一定の段差を見て、その係数は \(2^{-l/2}\) のようにしか減衰しません。だから大きな係数は跳びの上に縦一列に並ぶのです。
3. 大きな係数を残す
良い基底では信号の係数のほとんどがごく小さく、それを捨ててもほとんど何も失いません。区分的に滑らかな信号はウェーブレット基底で疎です。跳びをまたぐ少数のウェーブレットだけがそれを見るからです。一方フーリエ基底では、一つの跳びがすべての周波数に広がります。係数を大きさの順に並べ、しきい値 λ を超えるものだけを残す、それが圧縮です。ノイズを加えても同じ操作がそれを取り除きます。白色ノイズはどんな正規直交基底でも白色のままで N 個の係数すべてに薄く広がり、信号は少数に集中しているからです。ドノホとジョンストンの普遍しきい値 σ√(2 ln N) は、予想されるノイズ係数の最大値のすぐ上にあります。しきい値をドラッグし、ちょうど同じ項数を使うフーリエの打ち切りと比べてください。
計算例. \(N=512\) 標本、ノイズ \(\sigma=0.1\) では \(\lambda_U=0.1\sqrt{2\ln512}=0.353\) です。512 個のノイズ係数はそれぞれ標準偏差 \(0.1\) のガウス変数で、ある一つが \(3.53\sigma\) を超える確率は \(4\times10^{-4}\) なので、平均して生き残るのはノイズ係数の五分の一個です。ブロック信号（十一の跳び、分散 1 に規格化）はハール基底でちょうど疎で、56 個の係数で完全に再現されます。一方、最大の 56 個のフーリエ係数では RMS 誤差 \(0.25\) が残ります。ノイズを加えると、\(\lambda_U\) でのハードしきい値は、最初の図で誤差を \(0.104\) から \(0.042\) まで下げます。残る係数は 57 個です。
注意点. 普遍しきい値はノイズをほぼすべて取り除くように設計されているので、小さな本物の特徴も取り除きます。滑らかさの側に誤るのです。SURE や交差検証のような他の規則は、より多くの詳細を残す小さなしきい値を選びます。通常どおり、最も粗い 16 個の係数（平均と最初の四段の詳細）にはしきい値を適用しません。ここではノイズの大きさ \(\sigma\) は既知です。実際には最も細かい詳細の段から、たとえば係数の絶対値の中央値を \(0.6745\) で割って推定します。ソフトしきい値は生き残るすべての係数を \(\lambda\) だけ縮めるので、滑らかですがわずかに平たくなった再構成を与えます。ハードしきい値は係数をそのまま残し、純粋な圧縮にはこちらが適しています。
なぜ正規直交変換は白色ノイズを白色のまま保ち、それがなぜしきい値処理を機能させるのですか？
ノイズのベクトル \(z\) が独立な \(N(0,\sigma^2)\) の成分をもてば共分散は \(\sigma^2I\) で、正規直交行列 \(W\) について \(\operatorname{cov}(Wz)=W\sigma^2IW^{\mathsf T}=\sigma^2I\) です。変換されたノイズも独立な \(N(0,\sigma^2)\) の成分をもちます。したがってウェーブレット領域でノイズは \(N\) 個の係数すべてに大きさ \(\sigma\) で一様に広がり、区分的に滑らかな信号はエネルギーを少数の大きな係数に集めます。ノイズの最大値のわずかに上にあるしきい値 \(\sigma\sqrt{2\ln N}\) が、二つの集団をほぼ完全に分けるのです。