ISEGORIA / 数学百科事典
偏微分方程式：動く場
格子上の熱・波・ポテンシャル場を調べます。
前提知識: 微積分とベクトル
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 熱拡散
長さ 10 の棒に、はじめ2つの暖かい部分があります。熱方程式を差分法で解き、時間スライダー（または再生）で任意の時刻の温度を表示します。下の時空図は全経過を一度に示します。流束は勾配に比例するので、鋭いピークほど速く減衰します。総熱量を保つ断熱端と、熱が逃げていく 0 に保った端を比べてください。
計算例. 断熱端では総量 ∫u dx が一定に保たれ、棒は平均温度に近づきます。幅 σ のガウス型の熱い点は幅 √(σ² + 2κt) に広がります。
注意点. この陽的差分法は r = κΔt/Δx² ≤ 1/2 のときだけ安定です。ここでは r = 0.4 となるように時間刻みを選んでいます。
ピークが下がるのはなぜですか？
熱は勾配を下る方向へ隣接セルに流れるためです。
2. 波動方程式
長さ 10 の弦を一端の近くではじき、静かに放します。解はダランベールの公式で、パルスは速さ c で左右に進む2つの半分に分かれ、両端で反射します。時間を動かすか再生を押し、波速を変え、反射パルスを反転させる固定端と反転させない自由端を切り替えてください。時空図では、パルスが直線 x ± ct に沿ってジグザグに進む様子が見えます。
計算例. 固定端では反射した変位の符号が反転します。時間 2L/c が経つと弦は最初の形に戻ります。
注意点. F は初期形状を弦の外へ延長したもので、固定端では奇関数的に、自由端では偶関数的に延長します。モデルは減衰と非線形な伸びを無視します。
波の速さを決めるものは？
張力と線密度で決まるパラメータcです。
3. ポテンシャル場
接地された箱の中に小さな電極が2つあります。電極をドラッグし、電位を設定してください。それ以外の場所の電位はラプラス方程式の解で、格子上で各値が隣接4点の平均に等しくなるまで緩和法で計算しています。等電位線は 0.1 ごとに描き、電気力線は電極から E = −∇V に沿って伸び、等電位線と直交します。
計算例. 電気力線は等電位線と直交します。両方の電極が正なら、その間の電位は谷ではなく鞍点になります。
注意点. 解は壁を V = 0 に固定した 81 × 61 の格子で計算しています。電極は一定の電位に保たれた小さな円板です。
電場が最も強いのはどこですか？
等電位線が最も密な場所です。