ISEGORIA / 数学百科事典
マルコフ連鎖：遷移・定常性・吸収
遷移行列を反復し、定常分布を見つけ、ギャンブラーの破産モデルを解きます。
前提知識: 確率と線形代数
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 遷移ダイナミクス
二状態の遷移行列を反復し、確率質量が平衡へ移る様子を見ます。
計算例. Pの各行の和は1なので、状態確率の総和は保たれます。
注意点. 遷移行列はモデルの仮定であり、すべてのデータの因果法則ではありません。
行列の1回の積は何を表しますか？
条件付き確率を1段階更新することです。
2. 定常分布
遷移確率を変え、初期分布と定常解を比較します。
計算例. 二つの遷移確率が正なら、連鎖は定常分布へ収束します。
注意点. 可約性や周期性があると、すべての初期分布からの収束が妨げられます。
ここで定常とは何を意味しますか？
Pを適用しても分布が変わらないことです。
3. ギャンブラーの破産
各回で確率 α で1単位勝ち、それ以外は1単位負けます。α、初期資産、目標を変え、試行が破産か成功で終わる様子を見て、勝った割合を 0 より先に N に達する正確な確率 hᵢ と比べます。
計算例. 公平な歩行では、0より先にNへ到達する確率は i/N です。
注意点. 有限状態モデルは独立で一定確率の歩みを仮定します。
歩行が公平ならどうなりますか？
吸収確率は初期資産に対して線形に変化します。
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