ISEGORIA / 数学百科事典
リー群とリー代数：連続的な対称性
回転の指数写像・二重被覆・交換子が非可換性を測る理由を見ます。
前提知識: 線形代数と群論
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 指数写像
回転は無限小回転の指数関数です。軸と角度を選び、べき級数の項を一つずつ加えてください。本当の回転は点を円に沿って動かしますが、打ち切った級数はその円から外れ、項を増やすとずれが縮みます。図をドラッグすると視点を回せます。
計算例. 単位軸 \(\mathbf n\) について \(K\mathbf v=\mathbf n\times\mathbf v\)、\(K^3=-K\) なので、級数全体がロドリゲスの公式にまとまります。\(R\) のトレースは \(1+2\cos\theta\) です。
注意点. 打ち切った級数は回転ではありません。長さを伸縮させるので \(R^{\mathsf T}R\neq I\) です。群に属するのは級数の和全体だけです。
なぜ反対称な K の指数関数は直交行列になるのですか？
\((e^{\theta K})^{\mathsf T}=e^{\theta K^{\mathsf T}}=e^{-\theta K}\) が \(e^{\theta K}\) の逆行列だからです。
2. 二重被覆：戻るのに 720°
物体を固定軸のまわりに回します。姿勢は 360° で元に戻りますが、それを生む単位四元数はまだ −1 にしか達していません。+1 に戻るにはもう一回転が必要です。壁に結んだリボンも同じことを記録します。720° で「ほどく」をドラッグすると、ブロックは静止したまま二重のねじれがまっすぐになります。360° ではそのような動かし方はありません。
計算例. \(q\) と \(-q\) は同じ回転を与えるので、写像 \(SU(2)\to SO(3)\) は二対一です。\(\theta=360^\circ\) で \(q=-1\) ですが \(R_q=I\) です。
注意点. リボンの図は、基本群が \(\mathbb Z/2\) である \(SO(3)\) のループについての正確な主張です。現実のリボンがスピンを持つという主張ではありません。
SO(3) のどのループが一点に縮められますか？
720° のループです。360° のループは縮められません。\(SU(2)\) への持ち上げが閉じずに \(-1\) で終わるためです。
3. 括弧積は非可換性を測る
x 軸まわりに ε、次に y 軸まわりに ε 回し、それから x、y の順に戻します。回転が可換なら出発点に戻りますが、戻りません。ループには隙間が残り、残った回転は z 軸まわりのおよそ ε² の回転（上から見て時計回り）です。両対数グラフでは隙間が傾き 2 で縮みます。
計算例. \(\mathfrak{so}(3)\) の回転生成子では \([X,Y]=Z\) です。回転のリー代数は外積を備えた \(\mathbb R^3\) です。積は右から左へ読むので、最初の回転は \(e^{\varepsilon X}\) です。
注意点. \(\varepsilon^2\) の法則は漸近的なものです。\(\varepsilon\) が大きいと三次の項が残りの回転軸を \(z\) から傾けます。読み取り欄で確認できます。
隙間が一次ではなく二次なのはなぜですか？
各手順が打ち消されるので一次の項はすべて消え、最初に残るのが交換子の項 \(\varepsilon^2[Y,X]\) だからです。