ISEGORIA / 数学百科事典
ハミルトン力学：相空間とその幾何
リウヴィルの定理・シンプレクティック積分法・対称性と保存則を結ぶネーターの定理を扱います。
前提知識: 古典力学と変分法
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. リウヴィル：流れは面積を保つ
相空間の各点は振り子の完全な状態（角度と運動量）です。初期状態の円板を好きな所へドラッグし、時間を進めてください。振幅によって周期が違うため円板は細い糸状に引き伸ばされますが、面積は変わりません。
計算例. 速度場 \((\partial_pH,-\partial_qH)\) の発散は 0 なので、発散定理により囲まれた面積は増えも減りもしません。
注意点. 面積を厳密に保つのは真の流れです。読み取り欄は 720 個の境界点を結ぶ多角形で測るので、長時間後のごく細い糸では解像度がわずかに不足します。
(±π, 0) を通る太い曲線は何を分けていますか？
セパラトリクスは、往復する振動（閉曲線）と頂点を越えて回り続ける運動（開いた曲線）を分けます。
2. 幾何を尊重する積分法
同じ刻み幅で、ケプラー軌道を三つの方法で積分します。陽的オイラー法は外へ渦を巻き、RK4 はゆっくりエネルギーを失います。リープフロッグ法は二次精度にすぎませんが、エネルギー誤差は非常に長い時間にわたって有界です。一歩一歩がそれ自体シンプレクティック写像だからです。
計算例. リープフロッグ法は修正エネルギー \(\tilde H=H+O(h^2)\) を指数関数的に長い時間にわたってほぼ厳密に保存するので、本当のエネルギーは振動するだけです。軌道は減衰せず歳差運動をします。
注意点. 長時間では高次の方が良いとは限りません。RK4 は一歩あたりの精度ははるかに高いものの、誤差が一方向に蓄積します。
オイラー法のエネルギーが減らずに増えるのはなぜですか？
最も簡単な調和振動子の場合、オイラー法の一歩はエネルギー一定の円の接線に沿って進むので、円の外側に出ます。エネルギーは一歩ごとにちょうど \(1+h^2\) 倍になります。
3. ネーター：対称性が保存則を与える
粒子が平面上のポテンシャルの中を動きます。うねりがなければポテンシャルは回転対称で、角運動量は保存されます。軌道はきれいなロゼットです。n 回対称のうねりを加えると回転対称性が壊れ、角運動量はさまよいますが、時間並進対称性に守られたエネルギーは一定のままです。
計算例. \(\varepsilon=0\) では \(\partial V/\partial\phi=0\) なので、\(L=xp_y-yp_x\) は厳密に一定です。
注意点. 離散的な対称性（\(2\pi/n\) の回転）からは保存量は得られません。ネーターの定理には連続的な対称性の族が必要です。
ここでエネルギーを守っている対称性はどれですか？
時間並進です。ポテンシャルが時間に依存しないからです。