ISEGORIA / 数学百科事典
量子情報：もつれとその限界
もつれた二つの量子ビットにできて、古典的な対にはできないことを扱います。どんな局所モデルも超える相関、共有した対と古典ビット二つによる状態のテレポーテーション、そしてどんな局所操作でも変えられない量、もつれエントロピーです。
前提知識: 量子力学と情報理論
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. ベルの不等式：CHSH ゲーム
アリスとボブは対 Φ⁺ = (|00⟩ + |11⟩)/√2 の量子ビットを一つずつ持ち、それぞれ x-z 平面内の方向に沿ってスピンを測ります。アリスは角度 a か a′、ボブは b か b′ です。結果はどれも ±1 で、相関は E(a, b) = cos(a − b) になります。ダイヤルの四つの設定をドラッグし、右の S を見てください。共有された隠れた変数によって各結果があらかじめ決まっている理論では、必ず |S| ≤ 2 で、これが灰色の帯です。橙の曲線はそのようなモデルの一例で、隠れた変数は一様にランダムな角度です。b′ を 135° に近づけると、量子的な S は 2 を超えて上限の 2√2 まで上がります。
計算例. \(a=0^\circ,\ a^{\prime}=90^\circ,\ b=45^\circ,\ b^{\prime}=135^\circ\) では、\(a-b^{\prime}=-135^\circ\) 以外の角度差はすべて \(45^\circ\) なので、\(S=\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2\approx2.828\) です。同じ設定で隠れた変数モデルは \(E=1-2\cdot45/180=\tfrac12\) が三つと \(-\tfrac12\) が一つなので、\(S\) はちょうど \(2\) です。古典限界そのもので、それを超えはしません。
注意点. 橙の曲線は古典モデルの一例であって、すべてではありません。限界 \(|S|\le2\) は局所的な決定論的または確率的な割り当てのすべてに対して成り立ち、だからこそ破れが決定的なのです。量子的な値は完全な検出器と完全に用意された \(\Phi^{+}\) を仮定しています。実際の実験では局所性と検出の抜け穴も塞ぐ必要があり、このページではそれを扱いません。同じダイヤルの二つの設定が一致すると、どちらの理論でも \(S=\pm2\) になります。
四つの角度をどう選んでも量子的な S が 2√2 を超えられないのはなぜですか？
\(S\) を作用素 \(\mathcal B=A\otimes(B-B^{\prime})+A^{\prime}\otimes(B+B^{\prime})\) の期待値と見ます。ここで \(A^2=B^2=I\) です。すると \(\mathcal B^2=4I-[A,A^{\prime}]\otimes[B,B^{\prime}]\) で、各交換子のノルムは高々 \(2\) なので、\(\|\mathcal B^2\|\le8\)、つまり \(|\langle\mathcal B\rangle|\le2\sqrt2\) です。これがツィレルソンの限界で、等号には反交換する設定が必要です。それが各ダイヤルでの \(90^\circ\) 間隔にほかなりません。
2. テレポーテーションを一歩ずつ
アリスは未知の量子ビット |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ} sin(θ/2)|1⟩ を持ち、ボブと対 Φ⁺ を共有しています。ブロッホ球の金色の先端をドラッグして |ψ⟩ を決め、回路を一歩ずつ進めてください。ψ を制御にして対の片割れへ CNOT、ψ にアダマール、アリスの二つの量子ビットの測定、最後にボブの補正 X^{m₂} Z^{m₁} です。棒グラフは現在のステップにおける三量子ビット状態の八つの振幅すべてで、橙の矢印がボブの量子ビットです。アリスの見る結果を選び、補正の前にはボブがパウリ作用素で回された |ψ⟩ を持ち、補正の後には四つの結果のどれでも正確に |ψ⟩ を持つことを確かめてください。
計算例. \(\theta=60^\circ,\ \varphi=0\) とすると \(|\psi\rangle=0.866|0\rangle+0.5|1\rangle\) で、ブロッホベクトルは \((0.866,0,0.5)\) です。アリスが \(m_1m_2=01\) を読むと、ボブは \(X|\psi\rangle=0.5|0\rangle+0.866|1\rangle\)、ブロッホベクトル \((0.866,0,-0.5)\) を持ち、\(|\psi\rangle\) との忠実度は \(|0.866\cdot0.5+0.5\cdot0.866|^2=0.75\) にすぎません。\(X\) を一度かけると \(|\psi\rangle\) が戻り、忠実度は \(1\) になります。各結果は \(|\psi\rangle\) が何であれ確率 \(\tfrac14\) で起こります。
注意点. 光より速く伝わるものは何もありません。古典ビット二つが届くまで、ボブの縮約状態は \(\tfrac12I\) で、ここではアリスの量子ビットをトレースアウトして計算しています。そこには \(|\psi\rangle\) の情報がまったく含まれません。元の状態はアリスの測定で壊れ、これは複製不可能定理の要請どおりです。このシミュレーションは純粋状態と理想的なゲートに対して厳密で、共有する対に雑音があれば最終的な忠実度は \(1\) を下回ります。
アリスの測定結果が |ψ⟩ について何も教えないのはなぜですか？
CNOT とアダマールの後の状態は \(\tfrac12\sum|m_1m_2\rangle\otimes X^{m_2}Z^{m_1}|\psi\rangle\) で、パウリ作用素がユニタリなので四つの枝のノルムはどれも \(\tfrac12\) です。したがってどの結果も \(\theta\) と \(\varphi\) によらず確率 \(\tfrac14\) で起こります。二つのビットが伝えるのはボブがどのパウリ作用素を打ち消すべきかであって、\(|\psi\rangle\) が何かではありません。
3. もつれエントロピー
族 |ψ(θ)⟩ = cos θ |00⟩ + sin θ |11⟩ は、θ = 0 の積状態から θ = 45° の最大にもつれた Φ⁺ まで走ります。量子ビット B をトレースアウトすると残る ρ_A の固有値は cos²θ と sin²θ です。θ = 0 ではブロッホ球の表面の純粋状態、θ = 45° では球の中心になります。ダイヤルで θ をドラッグして、ブロッホベクトルが縮み、棒がそろい、エントロピー S(ρ_A) が 1 ビットまで上がるのを見てください。次にスライダー β、つまり量子ビット B だけの回転を回してください。振幅はすべて変わりますが、S も C もブロッホベクトルもまったく動きません。
計算例. \(\theta=30^\circ\) では \(\lambda_1=\cos^2 30^\circ=0.75\)、\(\lambda_2=0.25\) なので、\(S=-0.75\log_2 0.75-0.25\log_2 0.25=0.311+0.5=0.811\) ビット、\(C=\sin60^\circ=0.866\)、\(|\vec r_A|=\sqrt{1-0.75}=0.5=\cos60^\circ\) で、これは \(\operatorname{diag}(0.75,0.25)\) のブロッホベクトルです。B をどんな \(\beta\) で回しても、この四つの数は変わりません。
注意点. 縮約状態のエントロピーがもつれの尺度になるのは、対が純粋状態のときだけです。混合した二量子ビット状態では、もつれがまったくなくても \(S(\rho_A)\) が大きくなり得るので、完全な \(\rho\) に対するウッターズのスピン反転公式によるコンカレンスを使わなければなりません。ここで描く \(C=2|\psi_{00}\psi_{11}-\psi_{01}\psi_{10}|\) はその純粋状態の場合です。ブロッホ球は \(x\)-\(z\) 平面での断面として示しています。振幅がすべて実数なので、\(\vec r_A\) はこの平面に含まれます。
二つの量子ビットの扱いがまったく異なっていても、ρ_A と ρ_B の固有値が常に同じなのはなぜですか？
シュミット分解により、対の任意の純粋状態は正規直交な \(u_i\)、\(v_i\) を用いて \(\sum_i\sqrt{\lambda_i}\,|u_i\rangle|v_i\rangle\) と書けます。すると \(\rho_A=\sum\lambda_i|u_i\rangle\langle u_i|\)、\(\rho_B=\sum\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|\) です。\(\lambda_i\) は同じ並びで、基底だけが異なります。ここでは \(\sqrt{\lambda_i}\) が \(\cos\theta\) と \(\sin\theta\) で、回転 \(\beta\) は \(v_i\) を変えるだけです。