ISEGORIA / 数学百科事典
振動子と脱進機：時計はどうやって時を刻むか
機械式時計は、乱さずに押し続けなければならないねじり振動子です。てんぷとひげぜんまいが振動数を決め、緩急針がそれを一日に数秒の単位で調整し、脱進機が一往復ごとに二回エネルギーを補います。その押し方と押す位置によって歩度が振り角で変わるかどうかが決まり、わずかな重心のずれがあると、ある特別な振り角を除いて姿勢ごとに歩度が変わります。
前提知識: 古典力学、減衰振動子、ベッセル関数
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. てんぷ、ひげぜんまい、タイムグラファー
てんぷは慣性モーメント I の輪で、ねじり剛性 κ のうず巻きばねにつながっているので、ばねがフックの法則に従う限り、振り角によらず周期 T = 2π√(I/κ) で振動します。毎時 28,800 振動の時計のてんぷは 4 Hz で、毎秒 8 回の振動それぞれが脱進機の一刻みです。緩急針はひげぜんまいの外側の一巻きを挟み、その有効長さ L を変えます。κ ∝ 1/L なので、ばねを一万分の一だけ短くすると時計は一日に 4.3 秒進みます。金色の緩急針を目盛りに沿ってドラッグし、右のタイムグラファーを見てください。各刻みの時刻を完全な時計と比べて記録するので、進む時計は右上がりの線を描きます。てんぷの静止点が脱進機の中心からずれる片振り（ビートエラー）があると、チクとタクが二本の平行な線に分かれます。
計算例. \(I=12\ \mathrm{mg\,cm^2}=1.2\times10^{-9}\ \mathrm{kg\,m^2}\) のてんぷを 4 Hz で振らせるには \(\kappa=I\omega_0^2=7.6\times10^{-7}\ \mathrm{N\,m/rad}\) が必要です。270° の振り角では \(E=\tfrac12\kappa A^2=8.4\ \mu\mathrm J\) を蓄え、品質係数 \(Q=250\) なら一周期あたり \(2\pi E/Q\) を失うので、主ぜんまいは \(\omega_0E/Q\approx0.85\ \mu\mathrm W\) を供給しなければなりません。緩急針を動かして \(L\) を 0.2‰ 縮めると \(86400(\sqrt{1/0.9998}-1)=8.6\ \mathrm{s/day}\) です。
注意点. 振り角によらない周期、すなわち等時性は、理想的な線形ばねと自由なてんぷに対してだけ成り立ちます。現実のひげぜんまいは、外端を成形する（ブレゲひげ）か重心が軸上にとどまるばねにしない限り、巻き上げと巻き戻しで偏心して呼吸します。また次の実験で見るように、脱進機がてんぷを乱します。緩急針は \(L\) を変えるだけでなく、ばねを押さえる位置も変えるので、現実の緩急装置は片振りもわずかに動かします。ここでのタイムグラファーはモデルから計算したもので、測定のノイズは含みません。
ひげぜんまいを短くすると時計が進むのはなぜで、その効果が相対変化の半分に比例するのはなぜですか？
帯を一定の角度だけねじるのに必要なトルクは、ねじれが帯の長さ全体に分担されるので長さに反比例します。ヤング率 \(E\)、断面二次モーメント \(I_{\rm s}\) の平らなうず巻きばねでは \(\kappa=EI_{\rm s}/L\) です。短いばねは硬く、振動数は高くなります。\(\omega_0\propto\sqrt\kappa\propto L^{-1/2}\) なので小さな変化に対して \(\Delta\omega/\omega=-\tfrac12\Delta L/L\) で、一日は 86,400 秒なので歩度は一日に \(43200\,|\Delta L|/L\) 秒です。
2. エアリーの定理：どこで押すか
脱進機は、摩擦が奪うものを補うために一周期に二回てんぷを押さなければならず、そのたびに振動の位相がわずかにずれます。エアリーは 1830 年に、害にならない押し方を示しました。てんぷが中心、つまり変位が 0 の点を通過するちょうどその瞬間に与える一撃は、振り角を変えますが時刻は変えません。中心より前の一撃は位相を進めて時計を進ませ、中心より後の一撃は位相を遅らせて時計を遅らせます。左ではてんぷの状態が位相平面を回る点として描かれ、各一撃は速度の垂直な跳びとして誇張して描いています。右は中心から一定の角度で与える一撃による歩度の誤差です。振り角が小さくなるほど同じ角度が振動の大きな割合を占めるので、誤差は大きくなります。これが、主ぜんまいの力が弱いときに時計師が戦う脱進機の誤差です。
計算例. \(Q=250\)、振り角 270° で、衝撃の中心が中心線の \(2^\circ\) 手前にあるとき、\(\sin\Phi_i=-2/270\) で歩度は \(+43200\times0.0074/250=+1.28\ \mathrm{s/day}\) です。主ぜんまいがほどけて振り角が 180° に落ちると、同じ衝撃は \(+1.92\ \mathrm{s/day}\) を与えます。時計はほどけるにつれてより進みます。衝撃がちょうど中心にあれば、どの振り角でも誤差は 0 です。
注意点. この公式は各衝撃を瞬間的で小さいものとして、損失を粘性的なものとして扱います。現実のアンクル脱進機は衝撃をてんぷの回転のおよそ 10° から 15° にわたって、中心のほぼ両側に広げるので、効果の大部分は打ち消し合います。残るのは主に解除、つまり中心の直前にかかる制動の抵抗によるもので、同じ規則により振り角が落ちると時計は遅れます。図では損失と一撃を見えるように模式的に大きく描いていますが、表示は本当の大きさを使っています。
中心での一撃が振り角を変えるのに位相を変えないのはなぜですか？
位相平面で状態は \((\theta,\dot\theta/\omega)=A(\sin\Phi,\cos\Phi)\) です。一撃は速度の座標だけを変え、点を垂直に動かします。中心では点は縦軸上、すなわち \(\Phi=0\) にあるので、垂直な移動は点を原点からの同じ半直線上に保ちます。半径 \(A\) は変わりますが角度 \(\Phi\) は変わりません。それ以外の場所では垂直な移動が半直線を一次の近似で \(-\varepsilon\sin\Phi\) だけ回転させ、その回転が毎周期積み重なる時刻のずれになります。
3. 姿勢差と 220° の振り角
てんぷの重心が軸からわずかにずれていると、時計が縦になるたびに重力がそこを引き、ひげぜんまいのトルクに振り子のようなトルクが加わります。これが周期をどれだけ変えるかは、重い点が重力に対してどこにあるかと振り角によって、ベッセル関数を通して決まります。歩度の誤差は、A をラジアンとして J₁(A)/A に比例します。この関数は A = 3.832 rad、すなわち 219.5° で符号を変えるので、その振り角では重心のずれはどの姿勢でも歩度に影響せず、それを超えると誤差が逆転します。重い点を縁に沿ってドラッグし、時計の姿勢を選び、右の四つの縦姿勢の曲線を読んでください。それらの間の開きが、タイムグラファーが姿勢差として示すものです。
計算例. \(I=12\ \mathrm{mg\,cm^2}\)、4 Hz で、重心のずれ \(mr=20\ \mu\mathrm g\,\mathrm{mm}\) は \(mgr/(I\omega_0^2)=2.6\times10^{-4}\) を与えます。重い点が真下（\(\alpha=0\)）で振り角 150° なら \(J_1(2.618)/2.618=0.177\) なので、時計は一日に \(86400\times2.6\times10^{-4}\times0.177=4.0\ \mathrm{s}\) 進みます。重い点が真上になるように向きを変えると同じだけ遅れます。振り角 270° では二つの誤差は \(\mp1.3\ \mathrm{s/day}\) で、符号が逆になります。
注意点. この公式は、重力のトルクを一振動にわたって平均することで得た、重心のずれについての一次の式です。現実のずれは非常に小さいので、非常によく当てはまります。時計を平ら（文字盤上または下）に置くと重力は軸に沿って働き、この誤差は消えます。文字盤上と文字盤下の歩度は別の理由、つまりほぞ先の摩擦で異なりますが、ここではモデル化していません。時計師は、縦姿勢での振り角がこの 219.5° の零点の近くに来るよう主ぜんまいと脱進機を調整し、重い点の金属を削っててんぷの釣り合いを取ることで、この零点を利用します。
ベッセル関数はどこから来るのですか？
重力のトルクを運動 \(\theta=A\cos\phi\) に対して一周期にわたって平均するには、変位と同位相のトルク成分、つまり実効的な剛性を変える成分である \(\int_0^{2\pi}\sin(A\cos\phi)\cos\phi\,d\phi\) が必要です。この積分は \(2\pi J_1(A)\) の定義そのものです。\(A\) で割るとトルクが剛性に変わります。振り角が小さいと \(J_1(A)/A\to\tfrac12\) で普通の振り子の剛性になり、大きいとトルク \(\sin(\theta+\alpha)\) を一周にわたって拾うので、平均の符号が変わりうるのです。
実物で見る
この分野の数学と物理が働いている様子を、実物を分解した解説で見られます。