ISEGORIA / 数学百科事典
フーリエ解析：波で関数を作る
調和波・畳み込み・標本化の限界を探ります。
前提知識: 三角関数と積分
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 矩形波を再構成する
矩形波に奇数次の調和波を加えます。滑らかな部分は収束しますが、跳躍の隣の行き過ぎは幅を狭めながら跳躍幅の約 8.95% に落ち着きます。拡大図でその様子を確かめられます。跳躍点そのものでは級数は中点の0に収束し、係数の図はその背後にある 1/k の減衰を示します。
計算例. 最初の近似は 4 sin(x)/π で、振幅は1を超えます。
注意点. 項数を増やしても、跳躍幅に対するギブス現象の行き過ぎの比率は0になりません。
必ず一様収束しますか？
いいえ。連続な部分和が不連続な関数へ一様収束することはありません。
2. 重なりとしての畳み込み
どちらかのハンドルをドラッグして、反転した g を単位パルス f の上で動かします。積 f(τ)g(t − τ) が塗られ、その面積が t における畳み込みで、下の図に描かれます。2つの単位パルスでは三角形になります。傾斜では反転が見え、片側の減衰では畳み込みが記憶をもつ平滑化であることがわかります。
計算例. ずれ t=0.25 で重なりは0.75です。
注意点. 畳み込みでは移動の前に反転します。この対称なパルスでは反転が見えません。
ずれが1.2なら出力が0になるのはなぜですか？
2つの台が重ならないためです。
3. 標本化とエイリアシング
連続な余弦波と等間隔の標本を比較します。f が標本化周波数の半分を超えると、標本は折り返し周波数の破線の余弦波にも一致します。下の周波数軸がその理由を示します。標本化はスペクトルをすべての k·fₛ ± f に複製し、見えるのは [0, fₛ/2] 内の複製だけです。
計算例. 7 Hz の余弦波を10 Hzで標本化すると、3 Hz の余弦波と標本値が一致します。
注意点. 標本化定理は帯域制限と理想的な再構成を仮定します。有限個の標本だけで任意の信号は特定できません。
7 Hz以下に帯域制限された信号で折り返しを避ける標本化周波数は？
14 Hzより大きい周波数を選びます。