ISEGORIA / 数学百科事典
半導体物理：バンド・ドーピング・接合
シリコンはそれだけでは電気をほとんど通しませんが、百万個に一個の不純物原子で見事に通すようになり、二種類のドーピングを隣り合わせると電流の一方通行の弁ができます。温度とドーピングがフェルミ準位を通して電子と正孔の密度をどう決めるか、p–n 接合が電池なしにどうバンドを曲げ電場を作るか、そしてそこから導かれるショックレーのダイオード方程式と、同じ素子を逆向きに使う太陽電池を調べます。
前提知識: 固体物理と統計力学
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. キャリア、ドーピング、フェルミ準位
半導体で電気を運ぶ電子は伝導帯にいます。シリコンでは 1.12 eV のギャップの上です。その下の価電子帯で欠けた電子は、正の正孔としてふるまいます。どちらの密度も、フェルミ・ディラック関数を通してただ一つの数、フェルミ準位 E_F で決まります。n = N꜀ exp(−(E꜀ − E_F)/kT)、p = Nᵥ exp(−(E_F − Eᵥ)/kT) なので、積 np = nᵢ² はドーピングにまったく依存しません。リンはバンドの 45 meV 下で電子を手放すドナーを加え、フェルミ準位は電荷中性が求める場所へ動きます。左の対数目盛では占有率の曲線が直線になり、それがバンド端と交わる値が n と p を与えます。再生を押して結晶を 20 K から温め、凍結領域から外因性の平坦部、そして真性のふるまいへ移る様子を見てください。
計算例. 300 K のシリコンでは \(E_g=1.1245\) eV、\(N_c=2.86\times10^{19}\)、\(N_v=3.10\times10^{19}\,\mathrm{cm^{-3}}\) なので \(n_i=1.07\times10^{10}\,\mathrm{cm^{-3}}\) です。1 cm³ あたり \(10^{16}\) 個のリン原子をドープすると、99.6% がイオン化して \(n=1.0\times10^{16}\) となり、フェルミ準位は伝導帯の \(kT\ln(N_c/n)=0.206\) eV 下にあり、正孔は \(p=n_i^2/n=1.1\times10^4\,\mathrm{cm^{-3}}\)、一兆分の一にまで減ります。50 K ではイオン化しているドナーは 5% だけです。700 K では \(n_i=2.7\times10^{16}\) がドーピングを追い越し、結晶はドープしていないかのようにふるまいます。
注意点. 密度にはボルツマン近似を使っており、フェルミ準位がギャップの内側に数 \(kT\) とどまる間は正しい近似です。約 \(10^{18}\,\mathrm{cm^{-3}}\) を超えるとシリコンは縮退し、ドナー準位は不純物帯へ融合し、ギャップ自体も狭まりますが、どれもモデルに入れていません。バンドギャップはバルシュニの式 \(E_g(T)=1.17-4.73\times10^{-4}T^2/(T+636)\) eV に従い、\(N_c\)、\(N_v\) は \(T^{3/2}\) に比例させています。ドナーとアクセプタの準位はリンとホウ素について 45 meV としています。フェルミ準位は結晶全体の性質であり、特定の電子がもつエネルギーではありません。
ドーピングは n を百万倍も変えるのに、なぜ積 np はドーピングによらないのですか？
二つのボルツマン因子を掛けるとフェルミ準位が打ち消されるからです。\(np=N_cN_v\,e^{-(E_c-E_F)/kT}e^{-(E_F-E_v)/kT}=N_cN_v\,e^{-E_g/kT}\) です。物理的には、電子 + 正孔 \(\rightleftharpoons\) 無 という反応の質量作用の法則です。ギャップを越える生成は温度だけで決まる率で起こり、再結合は \(np\) に比例する率で起こり、平衡では両者がつり合います。ドナーを加えると \(n\) が増え、\(p\) がちょうど比例して減るまで再結合が速まります。
2. p–n 接合
p 型と n 型のシリコンを接触させると、電子は多くいる n 側から p 側へ、正孔は逆向きに拡散します。後にはイオン化したドーパントの固定電荷が残り、n 側で正、p 側で負の空乏層ができます。その電場は、拡散とドリフトがつり合うまで押し返します。平衡ではフェルミ準位が平らなので、バンドは内蔵電位 V_bi だけ曲がらねばなりません。バイアス V は障壁を qV だけ下げ（順方向）または上げ（逆方向）、擬フェルミ準位を同じだけ分け、空乏層を狭めたり広げたりします。p 側を上下にドラッグしてバイアスをかけてください。
計算例. 300 K で \(N_A=10^{17}\)、\(N_D=10^{16}\,\mathrm{cm^{-3}}\) なら \(V_{bi}=0.02585\ln(10^{33}/1.14\times10^{20})=0.770\) V です。\(\varepsilon=11.7\varepsilon_0\) で空乏層の幅は \(W=0.331\) µm、そのうち \(x_n=0.301\) µm が低ドープの n 側に、わずか \(0.030\) µm が p 側にあり、ピーク電場は \(47\) kV/cm です。5 V の逆バイアスは幅を \(0.91\) µm に広げ、電場を \(127\) kV/cm に上げます。容量 \(\varepsilon/W\) は \(31\) から \(11\) nF/cm² に下がります。
注意点. これは空乏近似です。空乏層には動けるキャリアがまったくなく、中性領域は完全に中性で、その境界は鋭いとみなします。逆バイアスでは非常によく合い、注入されたキャリアが接合を満たす強い順バイアスでは成り立ちません。擬フェルミ準位は空乏層をまたいで平らに描いており、これは通常の低注入の描像です。読み取り欄の警告に使っている約 300 kV/cm の降伏電場は目安です。本当のなだれの閾値はドーピングと高電場領域の幅に依存します。
なぜ空乏層は主に低ドープ側へ広がるのですか？
接合全体が中性を保たねばならないからです。p 側にむき出しになった負電荷 \(qN_Ax_p\) は n 側の正電荷 \(qN_Dx_n\) と等しくなければならず、\(x_n/x_p=N_A/N_D\) です。低ドープ側は単位長さあたりのドーパントイオンが少ないので、同じ電荷を供給するにはより長い範囲を空にしなければなりません。\(p^+n\) のような片側接合では、幅も電圧降下も容量もほとんどすべてが低ドープ側で決まります。だからデバイス設計者はそのドーピングを最も注意深く指定するのです。
3. ダイオード、そして太陽電池
順バイアスは障壁を qV だけ下げ、それを越えるのに十分なエネルギーをもつキャリアの数はボルツマン因子 exp(qV/kT) 倍に増えます。逆バイアスでは、接合までさまよってきて掃き出される少数キャリアの、電圧によらない小さな流れだけが残ります。これがショックレーの方程式です。飽和電流 Iₛ は nᵢ² に比例するので温度とともに急激に増え、一定電流での順方向電圧は 1 ケルビンあたり約 2 mV 下がります。接合に光を当てると、吸収された光子はそれぞれキャリアの対を加え、それを電場が分けます。曲線全体が光電流だけ下へずれ、第四象限ではダイオードは電源になります。動作点と照度をドラッグしてください。
計算例. 300 K で \(I_s=10^{-12}\) A なら、理想ダイオード（\(n=1\)）が 1 mA を流すには \(V=0.0259\ln(10^9)=0.536\) V が必要で、電流をさらに一桁増やすごとに \(59.5\) mV かかります。10 K 温めると \(I_s\) は約 5 倍になり、1 mA での電圧は \(2.5\) mV/K 下がります。\(I_{ph}=40\) mA を与える光の下では開放電圧は \(0.0259\ln(1+4\times10^{10})=0.631\) V、最適な負荷は \(0.551\) V で \(38.2\) mA を引き出し、\(P_{\max}=21.0\) mW から曲線因子は \(0.834\) です。これは \(v_{oc}=qV_{oc}/kT\) としたグリーンの式 \(FF\approx(v_{oc}-\ln(v_{oc}+0.72))/(v_{oc}+1)\) の予言どおりです。
注意点. 実際のダイオードには、大電流で順方向の曲線を寝かせる直列抵抗、低電流で理想係数 \(n\) を 2 に近づける空乏層内の再結合、逆方向の降伏が加わりますが、どれも描いていません。温度依存性は \(I_s\propto T^3e^{-E_g(T)/kT}\) だけを仮定しています。実際の素子では他の寄与のために、\(I_s\) が 10 K ごとにおよそ二倍になることがよくあります。シリコン太陽電池は太陽光の多くを、熱化と、ギャップより小さなエネルギーの光子によって失います。だからここでは光電流を計算せず、自由なパラメータにしています。
光が変わらないのに、なぜ太陽電池の開放電圧は熱くなると下がるのですか？
開放状態では順方向のダイオード電流が光電流をちょうど打ち消し、\(I_s(e^{qV_{oc}/kT}-1)=I_{ph}\) です。光電流は温度にほとんど依存しませんが、\(I_s\propto n_i^2\) は何桁も増えるので、同じ打ち消し電流を押し出すのにより小さな順バイアスで足ります。\(V_{oc}=(kT/q)\ln(I_{ph}/I_s)\) はセル一つあたり 1 ケルビンにつき約 2 mV 下がります。暑い屋根の上のパネルはこうして出力の数パーセントを失います。だからデータシートには電力の温度係数が載っているのです。