ISEGORIA / 数学百科事典
フラクタル幾何：整数の間の次元
どのスケールで見ても同じに見える集合と、それが平面をどれだけ埋めるかを測る数を扱います。反復関数系と相似次元を与えるモランの方程式、実用的な推定法としての箱数え法、どのジュリア集合がつながっているかの地図としてのマンデルブロ集合、曲線や植物を育てる書き換え規則、そして共通の境界がフラクタルになるニュートン法の吸引域を調べます。
前提知識: 測度論と力学系
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 反復関数系
有限個の縮小写像 S₁, …, Sₘ には、F = ⋃ Sᵢ(F) を満たす空でないコンパクト集合 F がただ一つ存在します。これが吸引集合です。カオスゲームは F を書き下すことなく見つけます。どこからでも始めて、ランダムに選んだ写像を適用し、最初の数点を捨てた残りを描くのです。再生を押すと、金色の出発点が F に収束し、点描が埋まっていく様子が見えます。写像が比 rᵢ の相似変換で、その像がほとんど触れ合わないとき、次元はモランの方程式 Σ rᵢᵈ = 1 の根で、右のグラフに示しています。カスタム系では三つの不動点をドラッグしてください。形は変わりますが根は変わりません。比 r が 1/2 を超えて部分どうしが重なるまでは。
計算例. シェルピンスキーの三角形は比 \(1/2\) の相似変換三つで、\(3\cdot(1/2)^d=1\) から \(d=\log3/\log2=1.585\) です。コッホ曲線は比 \(1/3\) の写像四つで、\(d=\log4/\log3=1.262\) です。カスタム系で \(r=0.4\) なら \(d=\log3/\log2.5=1.199\) で、表示は \(\sum r_i^d=1.000\) を確認しています。
注意点. モランの公式には開集合条件が必要です。像 \(S_i(F)\) は触れてもよいが重なってはいけません。カスタム系で \(r>1/2\) にすると像が重なり、根は真の次元を上回ります。\(r=1/\sqrt3\) を超えると 2 さえ超えてしまいます。シダは方向によって異なる比率で押しつぶすアフィン写像でできているので自己相似ではなく、比 \(r_i\) が存在しません。そのためこの実験では代わりに箱数え法の推定値を示しています。またカオスゲームが描くのは集合そのものではなく不変測度です。確率が等しくないと、\(F\) に属していてもめったに訪れない部分は薄く見えます。
カオスゲームはなぜどの出発点からでも吸引集合にたどり着くのですか。また最初の数点を捨てるのはなぜですか？
各写像は距離を高々 \(r_{\max}<1\) 倍に縮め、\(F\) は不変なので、現在の点から \(F\) までの距離は一歩ごとに高々 \(r_{\max}\) 倍になります。\(n\) 歩後には出発時の距離の \(r_{\max}^{\,n}\) 倍以下です。したがって最初の数点は \(F\) の近くにはあっても \(F\) の上にはなく、だから捨てるのです。\(r=1/2\) で二十歩進めば誤差は百万分の一未満で、点描では見えません。
2. 箱数え法
平面を一辺 ε の箱の格子で覆い、集合に触れる箱の数 N(ε) を数えます。滑らかな曲線なら N(ε) は 1/ε のように、塗りつぶされた領域なら 1/ε² のように、フラクタルならその間の d で ε⁻ᵈ のように増えます。箱数え次元とは、log N(ε) を log(1/ε) に対して描いたときの傾きです。集合を選び、右のグラフの金色の点をドラッグして ε を変えてください。左の網掛けの箱が数えられている箱です。フィットした傾きを理論値の次元と比べ、フィット範囲を全スケールと細かいスケールで切り替えて、粗い箱がどれだけ傾きをゆがめるかを見てください。
計算例. コッホ曲線では、この実験は \(N(2^{-4})=32\) 個と \(N(2^{-7})=461\) 個の箱を数えます。\(k=4,\dots,7\) での最小二乗の傾きは \(1.260\) で、厳密値 \(\log4/\log3=1.2619\) に近い値です。七つのスケール全体では傾きは \(1.291\) になります。最も粗い二つの格子は曲線を線分に近いものとしか見ていないからです。
注意点. 七つの格子から得た傾きは推定値であって極限ではありません。ここにある集合はどれも有限の対象です。コッホの折れ線はレベル 6、ブラウン運動の軌跡は 4096 ステップ、三角形は 40,000 点なので、それぞれの分解能より細かいところでは次元 1 か 0 になり、\(\varepsilon\) をさらに小さくすると傾きがずれます。箱の数は格子の置き方にも依存しますが、定義の極限ではこの依存性は消えます。箱次元はハウスドルフ次元とは異なります。集合 \(\{1,1/2,1/3,\dots\}\) の箱次元は \(1/2\) で、ハウスドルフ次元は 0 です。
可算集合 {1, 1/2, 1/3, …} の箱数え次元が 1/2 なのはなぜですか？
\(1/n\) と \(1/(n+1)\) の間隔はおよそ \(1/n^2\) です。\(1/n^2<\varepsilon\)、すなわち \(n>\varepsilon^{-1/2}\) になると点は箱より密に並び、尾の部分 \([0,\varepsilon^{1/2}]\) 全体でおよそ \(\varepsilon^{-1/2}\) 個の箱を要します。それより大きい \(\varepsilon^{-1/2}\) 個の点は一つずつ箱を要します。よって \(N(\varepsilon)\approx2\varepsilon^{-1/2}\) で、傾きは \(1/2\) です。ハウスドルフ次元が 0 なのは、可算集合はすべての \(s>0\) について \(s\) 次元ハウスドルフ測度が 0 だからです。
3. マンデルブロ集合から見るジュリア集合
各 c について写像 z ↦ z² + c は充填ジュリア集合 K(c)、すなわち軌道が有界にとどまる点の集合をもち、その境界であるジュリア集合の上で力学は混沌的になります。マンデルブロ集合 M は、臨界点 0 の軌道が有界にとどまる c の集合です。そしてこのただ一つの軌道が K(c) の位相を決めます。c ∈ M なら連結、そうでなければカントール塵です。左のパラメータ平面で c をドラッグし、右で K(c) が計算し直される様子を見てください。M の球根の中では 0 の軌道は吸引的周期軌道に落ち込み、表示はその周期 p と乗数 λ = 2z₀ · 2z₁ ⋯ 2zₚ₋₁ を求めます。乗数の絶対値が 1 未満であることが、周期軌道が吸引的であることそのものです。M の境界を越えると K(c) は砕け散ります。
計算例. \(c=-1\) では 0 の軌道は \(0\to-1\to0\) で、乗数 \(\lambda=2\cdot0\cdot2\cdot(-1)=0\) の周期 2 の軌道です。超吸引的で、\(K_{-1}\) は連結なバジリカです。\(c=1\) では軌道は \(0\to1\to2\to5\) となり、三歩で \(|z_3|>2\) なので \(1\notin M\) で、\(K_1\) はカントール集合です。ドゥアディの兎 \(c=-0.123+0.745i\) では、表示は周期 3 と \(|\lambda|\approx0.005\) を見つけます。
注意点. 円板 \(|z|\le2\) の外へ出れば脱出が証明されますが、80 回や 500 回の反復で中にとどまっても所属の証明にはなりません。\(M\) や \(K_c\) の境界の近くでは軌道が数千回もぐずぐずと残るので、両方の点描は集合をわずかに過大に描き、\(M\) の細い糸は実際より太く見えます。周期の探索は、0 の軌道が許容誤差の範囲内で実際に到達する周期軌道しか検出しません。\(c=i\) のようなミシュレヴィッチ点では軌道は反発的周期軌道にちょうど落ち、表示は \(|\lambda|>1\) として報告します。一方、球根の境界上の \(c\) では収束が遅すぎて何も見つかりません。
ただ一点 0 の軌道が K(c) の連結性を決めるのはなぜですか？
0 が \(z^2+c\) のただ一つの臨界点だからです。原点から遠くでは \(f_c\) は \(z\mapsto z^2\) と共役なので、\(K_c\) の外側は等ポテンシャル曲線で葉層化され、\(f_c\) がそこで被覆写像である限り各曲線は単純閉曲線です。閉曲線を臨界値 \(c\) を通して引き戻すと、0 を通る 8 の字になります。0 が決して脱出しなければすべての等ポテンシャル線は閉曲線で、その共通部分 \(K_c\) は連結です。0 が脱出すればある等ポテンシャル線が 0 でくびれ、それ以降の逆像はいずれも部分の数を倍にして、カントール集合が残ります。
4. L システム：書き換えで育つ曲線
リンデンマイヤーの考えは、文字列を書き換えることで形を育てることでした。公理から始め、すべての記号を同時にその記号の規則で置き換え、これを繰り返します。そして結果をタートルの命令として読みます。F は単位長だけ前へ描き、+ と − は一定の角度だけ向きを変え、括弧はタートルの位置を保存して復元します。植物が枝分かれするのはこの仕組みです。コッホ曲線は 60° の回転をもつただ一つの規則 F → F+F−−F+F です。各線分が生成子で置き換えられるのは最初の実験の反復関数系とまったく同じで、次元はやはり log 4 / log 3 です。ドラゴン曲線はレベルごとに長さを二倍にし、平面の領域を埋め尽くして次元 2 になります。再生を押してタートルが描く様子を見て、角度を変えると同じ文字列が違う形を与えることを確かめてください。
計算例. \(n\) レベルのあとのコッホの文字列は \(4^n\) 個の描画ステップをもち、端から端まで \(3^n\) 単位長に及ぶので、曲線を一定の線分に収めるには \(3^{-n}\) 倍に縮める必要があり、\(d=\log4^n/\log3^n=1.2619\) です。レベル \(n\) のドラゴンは \(2^n\) ステップで、両端の距離は \(\sqrt2^{\,n}\) なので \(d=\log2^n/\log\sqrt2^{\,n}=2\) です。アローヘッド曲線は \(2^n\) の幅に \(3^n\) ステップをもち、シェルピンスキーの次元 \(\log3/\log2\) を与えます。
注意点. 示した次元は相似次元で、部分が重ならないときに限って箱次元と一致します。ドラゴンの部分は曲線全体に沿って触れ合い、だからこそ面積を埋められます。植物はまったく自己相似ではありません。規則 F → FF は新しい枝が芽吹く間に古い枝を引き伸ばすので、単一の縮尺は存在せず、表示は線分の数だけを示します。規則が想定した値から角度を変えると自己相似性は壊れ、曲線は自分自身と交差することがあります。文字列は同じで、読み方だけが変わったのです。描画がおよそ二万線分に収まるようにレベルには上限があります。
単位長の直線ステップからできているドラゴン曲線の次元が 2 で、コッホ曲線の次元が 2 未満なのはなぜですか？
どちらも自分自身の縮小した写し二つまたは四つの和集合で、次元は写しの個数と縮小率で決まります。ドラゴンは \(1/\sqrt2\) 倍の写し二つなので \(2\cdot(1/\sqrt2)^d=1\) から \(d=2\)、コッホ曲線は \(1/3\) 倍の写し四つなので \(4\cdot3^{-d}=1\) から \(d=\log4/\log3\) です。次元 2 の曲線は面積を埋めなければならず、ドラゴンは実際に埋めます。その極限は内部が空でないコンパクト集合で、自分自身の写しで敷き詰められています。一方コッホ曲線の面積は 0 で、次元は 1 と 2 の間の有限の値です。
5. ニュートン法とその吸引域
多項式 p に対するニュートン法は反復 z ↦ z − p(z)/p′(z) です。根の近くから始めればその根へ二次収束し、平面は三次式の根ごとに一つずつ、三つの整った領域に分かれると思うかもしれません。そうはなりません。どの二つの吸引域の境界も第三の吸引域の境界でもあり、それはジュリア集合、すなわちすべての点で三色が出会うフラクタルです。根をドラッグして吸引域を作り変えてください。白い出発点をドラッグすると、その軌道が折れ線で描かれます。p(z) = z³ − 2z + 2 ではもっと悪いことが起こります。軌道 0 → 1 → 0 がニュートン写像の超吸引的周期軌道になるので、どの根にも決して到達しない出発点の開集合があります。0 と 1 のまわり、そしてそのすべての逆像のまわりの小さな黒い島です。
計算例. \(z^3-1\) で \(z_0=1.5\) から始めると \(z_1=1.5-2.375/6.75=1.148\)、\(z_2=1.018\)、\(z_3=1.0003\)、\(z_4=1.0000001\) と、正しい桁数が一歩ごとに倍になります。原点のすぐ左 \(z_0=-0.2\) から始めると、軌道は \(8.2\) まで投げ出されてから 1 へ歩いて戻ります。実軸は 0 の逆像を除いてすべて 1 の吸引域に属し、他の二つの吸引域に挟まれたとげのようなもので、その両側に二つの吸引域のフラクタルな指が交互に並びます。\(z^3-2z+2\) では \(N(0)=1\) と \(N(1)=0\) がちょうど成り立ちます。
注意点. 点は、反復回数の予算内で軌道が近づく根によって色分けされます。ジュリア集合の近くでは軌道は落ち着くまでに何歩もさまようので、境界はやや太く描かれ、予算を増やすと鮮明になります。\(z^3-2z+2\) の黒い領域は描画の誤りではなく吸引的周期軌道の吸引域です。そこではどの出発点からでも、何回反復を許してもニュートン法は失敗します。ハバード、シュライヒャー、サザーランドは、すべての根を囲む円周上におよそ \(1.11\,d\log^2d\) 個の出発点を固定して選べば、次数 \(d\) のどんな多項式のどの根も見つかることを示しました。
一つの吸引域の境界が三つすべての吸引域の境界でなければならないのはなぜですか？
\(N\) のジュリア集合は反発的周期点の閉包で、ジュリア集合の点のどんな近傍でも \(N\) の反復は平面の高々二つを除くすべての値をとります（モンテルの定理）。よってその近傍には三つの根それぞれへ向かう点が含まれます。吸引域の境界点はどれもジュリア集合の点です。片側では軌道がある根へ向かい、反対側では別の根へ向かうので、どの近傍も一様には振る舞わないからです。合わせると、どの吸引域のどの境界点の近くにも三つの吸引域がすべて存在します。これがワダの性質で、滑らかな境界をもつ三つの領域には不可能なことです。