ISEGORIA / 数学百科事典
固体物理：結晶の中の波
強束縛近似のバンド・周期ポテンシャルが生むバンドギャップ・ブリルアンゾーンを扱います。
前提知識: 量子力学とフーリエ解析
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 飛び移りから生まれるバンド
電子が、結合の強さが t₁ と t₂ で交互に変わる鎖に沿って飛び移ります。各ブロッホ波数 k に二つのエネルギーがあるので、準位は二本のバンドになります。結合を不均等にすると、ゾーン端にギャップが開きます。金色の点をバンドに沿ってドラッグし、鎖の上の波を見てください。
計算例. \(ka=\pm\pi\) では \(E_\pm=\pm|t_1-t_2|\) なので、ギャップは \(2|t_1-t_2|\) です。\(t_1=t_2\) ならギャップは閉じ、鎖は半分に折り返した一本の余弦バンドになります。
注意点. このモデルは最近接の飛び移りと、各サイト一つの軌道だけを残しています。実際のバンド構造にはもっと多くの軌道と長距離の項が必要です。
ゾーン端での群速度はいくらですか？
\(t_1\ne t_2\) なら 0 です。そこでバンドは平らになり、波は定在波です。
2. 周期ポテンシャルが生むバンドギャップ
自由電子はどんなエネルギーでもとれます。四角い障壁が並ぶ結晶に入れると、エネルギーの区間ごと禁止されるようになります。左はポテンシャルの上に許されたバンドを帯として、右は同じバンドを E(k) として示します。障壁を高くするとバンドは細くなり、ギャップは広がります。
計算例. \(\hbar^2/2m=1\)、格子定数 \(a=b+c=1\) の単位です。右辺が \([-1,1]\) に入るときに限りエネルギーは許されます。障壁より上では \(\beta\) が虚数になり、\(\cosh,\sinh\) は \(\cos,\sin\) に変わります。
注意点. 障壁の頂上より上でもギャップは残ります。どんな周期ポテンシャルもゾーン境界でギャップを開きますが、高い所のギャップは狭くなります。
ギャップは k のどこで開きますか？
ゾーン境界 \(ka=\pm\pi\)（高いバンドでは \(k=0\) も）です。そこではブラッグ反射が \(k\) と \(k-2\pi/a\) を混ぜます。
3. 逆格子とブリルアンゾーン
二本目の格子ベクトルをドラッグしてください。逆格子もそれに合わせて回転・伸縮し、ブリルアンゾーンが計算し直されます。第 n ゾーンとは、原点が n 番目に近い逆格子点となる波数の集合です。ゾーンは破片に分かれますが、どのゾーンの面積もまったく同じです。
計算例. 長さが等しく角度が 60° なら格子は六方で、第一ゾーンは正六角形になります。90° なら正方形です。
注意点. ゾーンの面積は描画範囲の画素を数えて計算するので、範囲からはみ出す高次のゾーンは近似的な値になります。
なぜすべてのゾーンの面積が等しいのですか？
どのゾーンの破片も逆格子ベクトルで平行移動すれば、ちょうど一つの第一ゾーンに組み直せるからです。