歯車と機構：運動を正確に伝える

計算例. モジュール \(m=1\)、\(z_1=18\)、\(z_2=30\)、\(\alpha_0=20^\circ\) の二つの歯車は、ピッチ円半径 9 と 15、基礎円半径 \(8.457\) と \(14.095\)、歯先円半径 10 と 16、中心距離 24 をもちます。かみ合い率は \((\sqrt{100-71.52}+\sqrt{256-198.67}-24\sin20^\circ)/(\pi\cos20^\circ)=(5.337+7.572-8.208)/2.952=1.59\) で、常に一組から二組の歯が接しています。中心を 0.3 引き離すと \(\cos\alpha^{\prime}=24\cos20^\circ/24.3\) なので \(\alpha^{\prime}=21.9^\circ\) となり、\(\varepsilon\) は 1.31 に下がります。

注意点. \(20^\circ\) では歯数がおよそ 17 未満の標準インボリュートの小歯車は、それを削る工具によって切り下げられます。図はこれを無視して完全な歯形を描いています。時計はほとんどインボリュートを使いません。時計の車は 6 から 12 枚の葉をもつ小さなかな（小歯車）を駆動し、そこではインボリュートはひどく切り下げられてしまうので、時計の輪列は小さなかなに耐え、かみ合い始めの摩擦がほとんどないサイクロイド由来の尖頭歯形を使います。代償は、一歯の中で速度比がわずかに変わることです。接触点はインボリュートの幾何から厳密に計算しています。歯は標準の中心距離でバックラッシュなしに描いています。

計算例. 28,800 振動/時ではてんぷは毎秒 \(f=4\) 回振動するので、20 歯のがんぎ車は毎秒 \(4/20=0.2\) 回転します。96 歯の四番車に駆動される 8 葉のがんぎかなは \(T_4=20\times96/(4\times8)=60\ \mathrm s\) を与えます。三番と二番のかみ合い \(75/10\) と \(80/10\) で 60 倍になるので二番車は毎時一回転し、12 葉の二番かなにかみ合う 84 歯の香箱は 7 時間に一回転します。香箱が六回転半すれば 45.5 時間のパワーリザーブです。

注意点. ここでの歯数は制約を満たすように選んだ例示であって、特定のキャリバーのものではありません。現実の輪列はさまざまです。秒針が正しく時を刻むのは \(z_{\rm esc}z_4/(f\,p_{\rm esc})\) がちょうど 60 のときだけで、分針は輪列全体の倍率が 3600 のときだけです。整数のずれは緩急で取り除けません。緩急針はてんぷの振動数を変えるので、秒針を合わせると時計全体が進むか遅れるかになるからです。また香箱のトルクはぜんまいがほどけるにつれて下がり、振り角を下げ、エアリーの実験の脱進機誤差を通して歩度を変えます。

計算例. 太陽 24、遊星 18、内歯車 60。内歯車を固定すると \(\omega_c/\omega_s=z_s/(z_s+z_r)=24/84=2/7\) で、太陽の七回転でキャリアが二回転します。キャリアを固定すると \(\omega_r/\omega_s=-24/60=-0.4\) です。太陽を固定すると \(\omega_c/\omega_r=60/84\) です。80 歯の固定車と 8 葉のがんぎかなをもつトゥールビヨンでは、毎分一回転するかごはかなを絶対的に毎分 \(1+80/8=11\) 回、かごに対して 10 回回します。

注意点. \(n\) 個の同じ遊星を等間隔に置けるのは \((z_s+z_r)/n\) が整数のときだけです。そうでないと二つ目の遊星の歯が太陽や内歯車とそろわず、表示はそれを知らせます。トゥールビヨンが前の話題の縦姿勢の誤差を平均化するのは、時計が一つの縦姿勢にとどまっている間だけです。腕時計が夜の多くを過ごす文字盤上の姿勢では何もせず、かごは主ぜんまいが駆動しなければならない質量と慣性を加えます。