ISEGORIA / 数学百科事典
室内音響：部屋はスピーカーの一部
スピーカーから耳に届くものは、その一部しかスピーカーのものではありません。低音域では部屋は共鳴器で、その定在波がどの音を響かせ、どの音を消すかを、座る場所に応じて決めます。中音域と高音域では部屋は反射の雲で、それは部屋の容積と吸音で決まる速さで減衰します。そしてすぐ近くの一枚の面は、どんなイコライザーでも埋められない落ち込みを応答に刻むことがあります。三つのモデルが、それぞれの仮定の中で厳密に、この三つの領域を扱います。
前提知識: 波動方程式、定在波、フーリエ解析
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 部屋のモード：箱の中の定在波
数百ヘルツより下では波長が部屋と同じくらいになり、部屋は開けた空間のようには振る舞わなくなります。音は平行な壁の間で跳ね返り、特定の周波数で定在波を作ります。これが部屋のモードです。剛な壁をもつ直方体の部屋では、各モードは三つの整数、つまり長さ、幅、高さに沿って収まる半波長の数で表されます。左の平面図は、選んだモードの圧力で振動する様子を色で示しています。二つの色は逆位相で、その間の淡い帯は節、つまりそのモードが鳴らない場所です。スピーカーは部屋の隅にあり、そこではすべてのモードの圧力が最大になります。聴き手をドラッグしてください。右の応答はその席で聞こえるすべてのモードの和で、周波数が少し変わるだけで 10 から 20 dB も上下します。シュレーダー周波数より上ではモードが密に重なり、山と谷は統計的な平均にならされます。
計算例. 長さ 5 m、幅 4 m、高さ 2.5 m の部屋では、最初の軸モードは長さ方向に \(343/10=34.3\ \mathrm{Hz}\)、幅方向に \(42.9\ \mathrm{Hz}\)、床から天井へ \(68.6\ \mathrm{Hz}\) です。長さ方向の二番目のモードも \(68.6\ \mathrm{Hz}\) です。長さがちょうど高さの二倍なので、二つのモードが一つの周波数に重なります。最初の接線モード \((1,1,0)\) は \(\sqrt{34.3^2+42.9^2}=54.9\ \mathrm{Hz}\) です。床のちょうど中央にいる聴き手は、\(n_x\) か \(n_y\) が奇数のすべてのモードの節にいるので、34.3 Hz と 42.9 Hz のモードはそこでは聞こえません。\(V=50\ \mathrm{m^3}\)、\(T_{60}=0.4\ \mathrm s\) なら \(f_S\approx2000\sqrt{0.4/50}=179\ \mathrm{Hz}\) です。
注意点. 壁は剛で、すべてのモードは残響時間 0.4 s で決まる同じ速さで減衰するとしています。現実の壁はたわみ、低音域でより多く吸音するので、モードはそれぞれ違うようにずれ、減衰します。音源は床の隅の点で、聴き手の耳は床から 1.2 m の高さです。平面図は選んだモードをその高さで示しています。レベルは相対値で、0 dB は描いた範囲全体の平均です。
なぜ隅は低音が最も大きく聞こえる場所なのですか？
すべてのモードの形は余弦の積で、各余弦は壁で \(\pm1\) になります。三つの壁が交わる隅では、すべてのモードがその全振幅をもちます。そこに置いた音源はすべてのモードを駆動し、そこにいる聴き手はすべてのモードを聞きます。隅に置いたサブウーファーが最も大きく鳴るのも、膜振動型のベーストラップのような圧力で働く低音吸音材を隅に置くのも、そのためです。低音が最も弱い席はその反対で、部屋の中央のように多くの低いモードの節が集まる点です。
2. 残響：部屋はどれだけ長く覚えているか
音が止まった後も、そのエネルギーは面から面へと跳ね返り続け、反射のたびに割合 α を失います。ウォーレス・セイビンは、ハーバード大学の講義室でオルガンのパイプの音の減衰をストップウォッチと自分の耳で計り、座席のクッションを運び込んで吸音を変えました。そして、レベルが 60 dB 下がるまでの時間は容積に比例し、全吸音量 \(A=\sum S\alpha\)（完全に吸音する面の平方メートルで測ります）に反比例することを見いだしました。部屋とその面を選んでください。左は手拍子のエコーグラムで、直接音、いくつかの分かれた初期反射、そしてデシベル目盛の上で直線的にレベルが下がる密な尾が見えます。右は、直接音と残響音場のレベルを距離に対して描いたものです。臨界距離より近くでは主にスピーカーが、遠くでは主に部屋が聞こえます。
計算例. 5 × 4 × 2.5 m の居間は \(V=50\ \mathrm{m^3}\)、\(S=2(20+12.5+10)=85\ \mathrm{m^2}\) です。むき出しの木の床（\(\alpha=0.10\)）と漆喰の壁と天井（\(0.05\)）で \(A=2.0+2.25+1.0=5.25\ \mathrm{m^2}\) になります。ソファ、カーテン、二人の人がおよそ \(6\ \mathrm{m^2}\) を加えるので \(A=11.25\ \mathrm{m^2}\)、\(T_{60}=0.161\times50/11.25=0.72\ \mathrm s\) です。カーペット（\(\alpha=0.30\)）は \(4\ \mathrm{m^2}\) を加え、\(0.53\ \mathrm s\) にします。半空間に放射するスピーカー（\(Q=2\)）では、カーペットを敷く前の臨界距離は \(\sqrt{2\times11.25/16\pi}=0.67\ \mathrm m\) です。ふつうの聴取距離では、聞こえるものの大半は部屋なのです。
注意点. セイビンの式は拡散音場、つまりエネルギーが一様に広がりあらゆる方向に進む場を仮定しています。吸音の非常に多い部屋（α = 1 でも有限の残響時間を予測してしまい、アイリングの式がそれを正します）、細長い部屋や平たい部屋、そして最初の実験のモードが支配する低音域では成り立ちません。吸音率は周波数に強く依存し、ここでの値は中音域のおおよその数値です。大きなホールで高音の減衰を短くする空気吸収は省いています。エコーグラムの初期反射は、統計的に正しい密度でランダムな時刻に描いたもので、この部屋について計算したものではありません。
0.161 はどこから来るのですか？
拡散音場では、音が反射と反射の間に進む平均距離は平均自由行程 \(4V/S\) なので、反射は毎秒 \(cS/4V\) 回起こり、そのたびにエネルギーの割合 \(1-\alpha\) が残ります。エネルギーは \(E(t)=E_0(1-\alpha)^{cSt/4V}\approx E_0e^{-cAt/4V}\) と指数関数的に減衰し、これはデシベルでは直線です。\(cAt/4V=\ln10^6\) のとき \(10^6\) 分の 1、つまり 60 dB 下がるので、\(T_{60}=4\ln(10^6)\,V/(cA)=(55.26/343)\,V/A=0.161\,V/A\) です。\(\ln(1-\alpha)\) を \(-\alpha\) で近似せずに残すと、アイリングの式になります。
3. いちばん近い面：くし形フィルターと境界による増強
スピーカーの近くにある硬い面は鏡として働きます。反射は、その向こう側にある鏡像音源から来たかのように、直接音より少し遅く、少し小さく聴き手に届きます。余分な経路 Δ が波長の整数倍になる所では二つは足し合わされ、半波長の奇数倍になる所では打ち消し合います。そのため応答には等間隔の落ち込みが並び、線形の周波数軸ではくしの歯のように見えます。左は選んだ周波数での音場で、スピーカー、その鏡像、そして二つの経路を示しています。スピーカーと聴き手をドラッグしてください。面をスピーカーの後ろの壁に切り替え、スピーカーを壁に近づけると、最初の落ち込みは低音域から上へ抜け出し、その下では反射がほぼ同位相で届いて最大 6 dB の低音を加えます。多くのアクティブスピーカーにある「壁の近く」という設定は、この持ち上がりを取り除くためにあります。
計算例. 硬い床から 1.0 m の高さのツイーターと 1.2 m の高さの耳が 3 m 離れているとき、\(r_1=\sqrt{9+0.04}=3.007\ \mathrm m\)、\(r_2=\sqrt{9+4.84}=3.720\ \mathrm m\)、\(\Delta=0.714\ \mathrm m\) です。最初の落ち込みは \(343/(2\times0.714)=240\ \mathrm{Hz}\)、次は 721 Hz です。\(g=0.9\) なら反射は直接音の \(0.9\times3.007/3.720=0.73\) の振幅で届き、落ち込みの深さは \(20\log_{10}(1-0.73)=-11\ \mathrm{dB}\) です。後ろの壁から 0.5 m 前に置いたスピーカーを 2.5 m 前で聞くと \(\Delta=2\times0.5=1\ \mathrm m\) で、最初の落ち込みは 172 Hz です。壁から 0.1 m にすると 858 Hz まで上がり、ごく低い音域では応答が \(20\log_{10}(1+0.9\times2.5/2.7)=5.3\ \mathrm{dB}\) 持ち上がります。
注意点. 平らな反射面が一枚と、無指向性の点音源です。現実の部屋には六つの面があって、それぞれが自分のくしを加えます。また現実のスピーカーは高音を前方に絞って放射するので、後ろの壁からの反射は高音域ではモデルが仮定するより弱くなります。モデルが最も重要になる低音域では、音源は実際に無指向性です。ここでは反射係数はどの周波数でも同じですが、カーペットは低音よりも高音をずっと多く吸音します。
なぜイコライザーは落ち込みを埋められないのですか？
落ち込みは、聴き手の位置での同じ信号の二つの複製の打ち消し合いです。その周波数を持ち上げると両方の複製が同じだけ持ち上がり、やはり打ち消し合います。アンプはより大きな仕事をし、部屋のほかの場所は大きくなりますが、落ち込みは残ります。落ち込みを動かしたり埋めたりできるのは、スピーカー、聴き手、面のいずれかを動かして Δ を変えるか、吸音材で反射を弱めることだけです。山は違います。複製が足し合わされる所ではレベルを下げればよく、壁の近くでの幅広い低音の持ち上がりは、まさにシェルビングフィルターで補正できる種類の山です。
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