ISEGORIA / 数学百科事典
水晶振動子：時を刻む結晶
ひとかけらの水晶が、どんなてんぷよりも優れた計時器になる理由を扱います。音叉の形がはりの方程式を通して 32,768 Hz を決め、圧電効果がそれを品質係数およそ 100,000 の電気回路に変え、その周波数は数ピコファラッドで調整されます。そして唯一の本当の弱点である温度への放物線的な依存性が、月に数秒ずれる時計と年に数秒しかずれない時計を分けます。
前提知識: 波動、弾性、交流回路
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. なぜ 32,768 Hz か：はりとしての音叉
時計用の水晶は、水晶の薄板から切り出した長さおよそ 2 mm の小さな音叉です。各歯は根元で固定された片持ちばりのように曲がり、オイラー・ベルヌーイのはり理論がその最も低い周波数を与えます。それは曲がる方向の歯の幅に比例し、長さの二乗に反比例します。二本の歯は逆位相で振れるので、音叉を取り付ける根元はほとんど動かず、エネルギーはほとんど漏れません。目標は 32,768 Hz = 2¹⁵ Hz です。耳に聞こえる範囲より高く、電力をほとんど使わないほど低く、そしてちょうど十五回の半分割りで毎秒一パルスになります。歯の先端の金色のハンドルをドラッグして長さを変え、幅を設定し、周波数と、十五個のフリップフロップがそれを何にするかを読んでください。
計算例. \(E\approx78.7\ \mathrm{GPa}\)、\(\rho=2649\ \mathrm{kg/m^3}\) の水晶では \(\sqrt{E/12\rho}=1573\ \mathrm{m/s}\) で、SI 単位で \(f_1=880\,t/L^2\) です。幅 0.20 mm の歯には \(L=\sqrt{880\times0.2\times10^{-3}/32768}=2.32\ \mathrm{mm}\) が必要です。1 µm 短くすると周波数は \(2\times10^{-3}/2.32=0.086\%\)、つまり 860 ppm 上がり、時計は一日に 74 秒進みます。そのため各音叉は先端に小さな金のおもりをもち、周波数を測りながらレーザーでそれを削って調整されます。
注意点. 水晶は異方性なので \(E\) は結晶の切断方位によって変わります。78.7 GPa は時計の音叉が曲がる方向の代表的な値で、モデルは根元、電極、先端の金のおもりを無視しています。この周波数の現実の音叉が公式と多少異なるのはそのためです。描いている片持ちばりの振動形は固定端・自由端のはりの厳密な一次モードで、振幅は数千倍に誇張しています。現実の先端の動きは 1 マイクロメートルよりずっと小さいのです。
周波数が弦のように 1/L ではなく t/L² に比例するのはなぜですか？
弦の復元力は張力から来て変位の二階微分を含みます。はりの復元力は曲げ剛性から来て四階微分を含みます。波長が \(L\) に比例するモードでは、四階微分が慣性の \(\omega^2\) に対して \(L^{-4}\) をもたらすので \(\omega\propto L^{-2}\) です。単位質量あたりの曲げ剛性 \(EI/\rho A\) は \(I=bt^3/12\)、\(A=bt\) なので \(t^2\) に比例して増え、平方根をとると因子 \(t\) になります。
2. 回路としての水晶とその調整
水晶を押すと表面に電荷が現れ、電圧をかけると変形します。この圧電結合を通して、振動する音叉は電子回路からは、直列の R–L–C 回路（動的アーム：質量がインダクタンス、コンプライアンスが静電容量、損失が抵抗）と電極の普通の静電容量 C₀ の並列とまったく同じに見えます。これがバターワース・ヴァン・ダイクのモデルです。そのインピーダンスは直列共振 fₛ で鋭く最小になり、千分の一足らず高い並列共振 fₚ で最大になります。発振器の中で水晶はその間、回路の負荷容量 C_L が決める周波数で動きます。C_L を動かして動作点が滑るのを見てください。数ピコファラッドで歩度が一日に数秒変わります。かつて時計がトリマーコンデンサーで調整されていたのはこの仕組みです。
計算例. 典型的な時計用水晶は \(C_1=2.0\ \mathrm{fF}\)、\(C_0=1.3\ \mathrm{pF}\)、\(R_1=35\ \mathrm{k\Omega}\) です。\(f_s=32{,}768\ \mathrm{Hz}\) で動的インダクタンスは \(L_1=1/((2\pi f_s)^2C_1)=11.8\ \mathrm{kH}\)、石のかけらから一万一千ヘンリーで、\(Q=69{,}000\) です。並列共振は \(f_s\) より \(C_1/2C_0=769\ \mathrm{ppm}\) 高くなります。\(C_L=12.5\ \mathrm{pF}\) では水晶は \(f_s\) より 72.5 ppm 高く動き、負荷を 1 ピコファラッド増やすごとに 5.3 ppm、一日におよそ 0.45 秒下がります。
注意点. 部品の値は 32 kHz の音叉型水晶の代表値で、特定の部品のものではありません。負荷による周波数の変化の公式は \(C_1/(C_0+C_L)\) について一次ですが、この量は \(10^{-3}\) 未満なのでここでは非常によく当てはまります。現代のクォーツ時計はもはや静電容量では調整されません。水晶をわずかに速く切り、分周器が周期的にパルスを飛ばす（インヒビション）という、次の実験で示すデジタルな補正を使います。周波数の軸は \(f_s\) からの百万分率です。共振が非常に鋭いので、ヘルツ単位の線形軸では見えなくなってしまいます。
機械的な振動が一万一千ヘンリーのインダクタンスをもちうるのはなぜですか？
圧電結合を通して、歯の速度は電流に、力は電圧になります。慣性は速度の変化に逆らうので、電流の変化に逆らうもの、つまりインダクタンスとして現れ、その値は実効質量を結合係数の二乗で割ったものです。水晶の結合は弱いので、小さな質量が巨大なインダクタンスになり、同じ理由でばねは小さな静電容量 \(C_1\) として現れます。弱い結合は共振がこれほどきれいである理由でもあります。電極の容量 \(C_0\) は \(C_1\) の千倍大きいので、回路は機械的な振動にほとんど負荷をかけないのです。
3. 温度：月ごとの誤差を決める放物線
音叉型の切断方位は、周波数がおよそ 25 °C、すなわち頂点温度で停留するように選ばれます。そこから離れると周波数は常に、度の二乗あたり 0.034 ppm の放物線で下がります。どちら側に 10 度離れても 3.4 ppm、一日に三分の一秒の損失で、時計が暖かくても冷たくても常に遅れです。腕の上の時計は日中はおよそ 31 °C、夜はベッドサイドで 20 °C 程度になり、その周期にわたって平均した歩度が持ち主の目にするものです。温度と時間、そしてデジタルの調整、すなわち水晶の意図的に速い切断を打ち消すために毎分いくつかのパルスを分周器から取り除く量を設定し、普通のムーブメントと、自分の温度を測る温度補償型とを比べてください。
計算例. 一日 16 時間 31 °C で着け、8 時間 20 °C に置くと、温度の項は平均 \(-(16\times0.034\times36+8\times0.034\times25)/24=-1.10\ \mathrm{ppm}\) で、月に 2.8 秒の遅れです。\(+10\ \mathrm{ppm}\) 速く切った水晶から毎分 20 パルスを取り除くと、25 °C で \(10-20\times0.509=-0.17\ \mathrm{ppm}\) になります。一パルス少なく 19 にすると頂点温度で \(+0.33\ \mathrm{ppm}\)、月の正味の誤差は \(-0.77\ \mathrm{ppm}\)、およそ \(-2\) 秒です。調整の刻み 0.509 ppm は一日 0.044 秒です。
注意点. 放物線の係数と頂点温度は水晶ごとにおよそ \(\pm10\%\)、\(\pm5^\circ\mathrm C\) ばらつきます。温度補償型の曲線は放物線の 95% を取り除くものとしてモデル化しました。これは、そうしたムーブメントが内蔵の温度計から施すデジタル補正の代わりです。現実のものは年に数秒と規定され、そこでは水晶の経年変化、典型的には最初の一年で数 ppm でその後は遅くなるものが、より大きな項になります。衝撃、磁気、電池電圧はモデル化していません。
誤差が平均温度だけでなく、時計を着けている時間にも依存するのはなぜですか？
周波数は温度の二次関数なので、周波数の平均は平均温度での周波数ではありません。\(\overline{(T-T_0)^2}=(\bar T-T_0)^2+\operatorname{Var}(T)\) です。31 °C と 19 °C を行き来する時計の平均はちょうど頂点の 25 °C ですが、それでも温度の分散の \(\beta\) 倍だけ遅れます。温度の揺れは常に損失になり、効くのはその広がりと頂点からのずれだけです。
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