ISEGORIA / 数学百科事典
測度論：大きさ・近似・収束
分割・単関数・優収束定理の仮定を破る列を比較します。
前提知識: 実解析と集合
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 面積を測る二つの方法
同じ関数の2つの下和です。リーマンは x 軸を等しく切り、各部分の最小値を使います。ルベーグは y 軸を段に切り、各集合 {f ≥ y} の長さに Δy を掛けて足します。集合がどれほど散らばっていても構いません。金色の水準をドラッグすると、その集合が軸上に示されます。この関数では両方の和が同じ積分に近づきます。
計算例. 細かい分割は関数を変えずに単関数近似の下からの値を上げます。
注意点. 長方形の図だけでは可測性は証明できません。
何を細かくしているのですか？
値を割り当て、できた部分を測る情報です。
2. 単関数近似
平方根関数の下からの単関数近似のレベル n を上げます。sₙ の各段は値の帯の逆像の上で一定で、その端点を軸上に示します。破線の前のレベルは常に下にあり、塗られた面積は 2/3 へ増加します。
計算例. 近似は各点で増加し、その積分は目標積分に近づきます。
注意点. 単調増加はこの構成の性質であり、すべての近似法に成り立つわけではありません。
面積が決して超過しないのはなぜですか？
各段階で関数値を下向きに丸めているためです。
3. 収束への注意
各 fₙ は (0, 1/n) 上の高さ n の尖りで、積分は常に1です。点 x をドラッグすると、n ≥ 1/x となった後は fₙ(x) = 0 となり、各点極限は0です。破線の包絡 sup fₙ は 1/x のように振る舞い可積分でないため、優収束定理は使えません。
計算例. 各点収束だけでは極限と積分の交換は正当化されません。
注意点. この列は n に依存しない可積分な支配関数で支配されていません。
極限関数の積分へ収束しない量は？
各点極限は0でも積分は1のままです。