ISEGORIA / 数学百科事典
ピストンエンジン：クランクからサイクルまで
ピストンエンジンはクランクとコンロッドを通して圧力を回転に変えます。エンジンの感触のほとんどすべては、このリンク機構から生まれます。コンロッドの傾きはピストンにクランクの二倍の速さの二次成分を与え、気体のサイクルは圧縮比だけで効率を決め、各気筒からのトルクの脈動と各ピストンの揺さぶり力は、クランク軸の配置しだいで足し合わされるか打ち消し合います。
前提知識: 運動学、理想気体の熱力学、フーリエ級数
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. クランク・スライダーとその二次成分
クランクは一定の速さで回りますが、ピストンは純粋な正弦波では動きません。回るにつれてコンロッドが傾くからです。クランク半径を r、コンロッドの長さを l とすると、上死点からのピストンの距離には λ = r/l で大きさが決まる二次成分があります。ピストンは上側の半分の行程でより速く動き、そこでより激しく折り返します。それに必要な加速度、したがってすべての軸受にかかる力は、回転数の二乗で大きくなります。クランクを回し、コンロッド比と回転数を変え、厳密な加速度とその最初の二つの調和成分を比べてください。
計算例. 行程 86 mm（\(r=43\) mm）、\(\lambda=0.3\)、コンロッド 143 mm で 6000 rpm とすると、\(\omega=628\) rad/s、\(r\omega^2=1731g\) です。上死点ではピストンは \(r\omega^2(1+\lambda)=2250g\) で減速し、下死点ではわずか \(r\omega^2(1-\lambda)=1212g\) です。そのため 450 g のピストンとピンは、毎秒 50 回、排気行程の頂点ごとにほぼ 10 kN でコンロッドを引っ張ります。平均ピストン速度は 17.2 m/s ですが、最大は 74.5° での 28.2 m/s で、クランクが直角になるずっと前です。
注意点. ピストンはオフセットなしに気筒の軸上に描き、クランクは一定の速さで回します。実際のエンジンではクランク軸は各サイクルの中でわずかに速くなったり遅くなったりし、それは三つ目の実験で測ります。二項の式は \(\lambda^3\) の次数の項を落としており、ここではその差は 2% 未満です。図は縮尺どおりです。
なぜピストンはクランクが 90° に達する前に最も速くなるのですか？
90° ではクランクピンは気筒の軸に沿ってまっすぐ動いていますが、コンロッドは傾いていてまだ振れているので、ピストンはすでにコンロッドの回転で減速させられています。90° より前ではコンロッドの振れがピンの動きに加わります。\(x(\theta)\) を微分すると \(\dot x=r\omega\sin\theta\big(1+\lambda\cos\theta/\sqrt{1-\lambda^2\sin^2\theta}\big)\) となり、その最大は \(\lambda\) が大きくなるほど小さい \(\theta\) へ移ります。
2. オットーサイクルとディーゼルサイクル
理想的なエンジンは 1 キログラムの空気に四つの過程をたどらせます。圧縮比 r による断熱圧縮、燃料の燃焼による加熱、断熱膨張、排気による放熱です。ガソリン機関のオットーサイクルでは熱は上死点で定積で加わり、ディーゼルサイクルではピストンが離れていく間にほぼ定圧で燃料が燃えます。一サイクルあたりの仕事は圧力・体積線図上の囲まれた面積で、効率は加熱された後に気体がどれだけ膨張するかで決まり、それは r で決まります。圧縮比とサイクルを変え、再生を押して輪をめぐる気体を追ってください。
計算例. \(\gamma=1.4\)、\(r=10\) のとき、オットーサイクルの効率は \(1-10^{-0.4}=60.2\%\) です。300 K、1 bar の空気を圧縮すると、燃料が燃える前に 25.1 bar で \(300\times10^{0.4}=754\) K まで熱くなります。\(r=18\)、締切比 2 のディーゼルは圧縮だけで 953 K に達し、噴射した燃料に火をつけるのに十分で、効率は 63.2% です。同じ圧縮比でのオットーサイクルの 68.5% より低いのですが、ノッキングが許す \(r=10\)〜13 でガソリン機関が達成できる値よりは高くなります。
注意点. これらは空気標準サイクルです。空気を比熱一定の理想気体とし、過程は瞬間的で可逆、壁への熱損失も摩擦もなく、オットーサイクルでは空気 1 キログラムあたり 1.8 MJ の熱を加えています。実際のエンジンは理想効率のおよそ半分に達し、燃焼に時間がかかるので、実際の気筒内圧力の最大値は理想の定積の尖りよりずっと低くなります。それは三つ目の実験でモデルにしています。吸気と排気のガス交換の行程は、ここでは正味の仕事を加えません。
なぜ圧縮比が高いほど効率が高いのですか？
熱はすでに熱く圧縮された気体に加えられ、その後の膨張がより大きな体積比にわたってそれを回収するからです。オットーサイクルでは排気の温度は最高温度を \(r^{\gamma-1}\) で割ったもので、捨てられる熱の割合は \(T_4/T_3=r^{1-\gamma}\) です。燃やす前に強く押し縮めるほど、気体は放たれる前に仕事をしながらより冷えるのです。
3. トルク、フライホイール、バランス
各気筒は爆発の後に鋭い脈動としてトルクを出し、混合気を圧縮するためにトルクを取り戻します。またピストンは一回転に二回向きを変える慣性トルクを加えます。フライホイールは余剰を蓄えて貸し戻しますが、サイクルを分け合う気筒が多いほど和はなめらかになります。それとは別に、各ピストンはクランクの速さとその二倍の速さの力でエンジンを気筒の軸に沿って揺さぶります。これらの力と、それがクランク軸に沿って作る揺れの偶力が打ち消し合うようにクランクを並べることが、エンジンのバランスの技術です。配置と回転数を選んでください。トルクは、燃焼が徐々に進む 0.5 リットルの単気筒モデルを、各気筒の爆発角で繰り返したものです。
計算例. 3000 rpm、全負荷の直列 4 気筒は、この理想化したモデルでは平均 258 N·m で、各爆発の直後に 755 N·m の最大があります。フライホイールは毎サイクル \(\Delta E=286\) J を吸収して返さねばならないので、\(I=0.12\) kg·m² ではクランク軸の回転は \(286/(0.12\times314^2)=2.4\%\) 振れます。同じ大きさの単気筒は平均で四分の一のトルクしか出しませんが、788 J を蓄える必要があり、回転の振れは 6.7% です。だから単気筒エンジンは重いフライホイールをもつのです。
注意点. 気筒のモデルには摩擦も熱損失もポンプ損失もないので、トルクは同じ大きさの実際のエンジンより大きくなります。燃焼は上死点の 10° 前に始まり 50° 続くヴィーベ関数に従います。バランスは往復する質量だけについて示し、気筒は直列のクランク軸に沿って等間隔に並べています。回転する質量は釣り合いおもりで消せるので除いています。V 型や水平対向は、完全に釣り合う水平対向 6 気筒のような別の可能性を加えます。
直列 4 気筒のピストンは上下に対になっているのに、なぜクランクの二倍の速さで揺れるのですか？
ピストンの運動の二次成分は \(\cos\theta\) の符号を気にしないからです。\(\cos2\theta\) は上にあるピストンでも下にあるピストンでも同じです。ピストン 1 と 4 が上死点で強く減速しているとき、ピストン 2 と 3 は下死点にあってそれほど強くは減速していないので（\(1+\lambda\) と \(1-\lambda\)）、四つの慣性力は上向きに \(4\lambda r\omega^2m\) を足し合わせます。半回転後に同じ状況が繰り返されるので、正味の力はクランクの二倍の速さで振動します。