空気力学：翼はどう揚力を生むか

計算例. 円の中心を \(\mu=-0.08+0.08i\) に置きます。半径は \(a=|1-\mu|=1.0830\)、後縁は中心から見て角度 \(\beta=\arcsin(0.08/1.083)=4.24^\circ\) 下にあるので、翼型の厚さは 9.7% で、迎角 \(-4.24^\circ\) で揚力がゼロになります。\(\alpha=5^\circ\) ではクッタ条件により \(\Gamma=4\pi\times1.083\times\sin9.24^\circ=2.184\)（\(U=1\)）です。翼弦は 4.022 なので \(C_L=2\Gamma/c=1.086\) です。薄翼理論の \(2\pi(\alpha+\beta)=1.013\) は 7% 小さく、厚さはおよそ \(1+0.77\,t/c\) に比例して揚力を増やします。表面のまわりで圧力を積分しても同じ 1.086 が得られます。

注意点. これは非粘性・非圧縮の流れです。抗力はまったく予言されず（ダランベールのパラドックス）、失速もありません。実際の翼型は 12° から 18° のあたりで上面から流れがはく離して揚力を失いますが、ここでは揚力が増えつづけます。ジューコフスキー翼型の後縁は角度ゼロのとがった形で、実用の断面とは違い、前縁近くの圧力のピークも現代の断面より鋭くなります。

計算例. ねじりのないアスペクト比 8 の楕円翼は純粋な楕円分布をもち、\(n>1\) で \(A_n=0\) なので \(e=1\) です。揚力傾斜は翼型の \(2\pi\) ではなく \(2\pi/(1+2/8)=5.03\)（1/rad）です。\(5^\circ\) では \(C_L=0.439\)、\(C_{D_i}=0.439^2/(8\pi)=0.0077\) です。同じアスペクト比の矩形翼は、翼端に翼弦の割に重すぎる荷重をかけるので \(e=0.937\)、\(C_L=0.422\) です。翼端の翼弦を翼根の 0.4 にテーパーをつけると \(e\) は 0.987 に戻り、ほぼ楕円になります。多くの翼にテーパーがあるのはこのためです。

注意点. 揚力線理論は、後退角がなくアスペクト比の大きい（およそ 4 以上の）翼で、流れが付着し、どの断面も揚力傾斜が \(2\pi\)（1/rad）であると仮定します。後流渦はまっすぐとしていますが、実際には翼幅の数倍のうちに巻き上がって二本の翼端渦になります。描いた渦の太さは、各帯から放出される強さの平方根に比例します。断面は対称なので揚力ゼロの迎角はゼロで、ウォッシュアウトは翼端を直線的に機首下げにねじります。

計算例. アスペクト比 18、\(e=0.9\)、\(C_{D0}=0.012\)、翼面荷重 350 N/m² のグライダーを海面高度で考えます。\(K=1/(\pi\times0.9\times18)=0.0196\) で、最良の滑空比は \(C_L=0.781\) で \(1/(2\sqrt{0.0196\times0.012})=32.6\) です。このときの速度は \(\sqrt{2\times350/(1.225\times0.781)}=27.0\) m/s、沈下率は \(27.0/32.6=0.83\) m/s です。最小沈下は \(C_L=\sqrt3\times0.781=1.354\)、速度 20.5 m/s で起こり、そこでは \(C_D=4C_{D0}\)、沈下率は 0.73 m/s です。バラストを積んで翼面荷重を二倍にしても滑空比は 32.6 のままで、どの速度も \(\sqrt2\) 倍になります。

注意点. 放物線の極曲線は理想化です。実際には \(C_{D0}\) は \(C_L\) や速度（レイノルズ数）によって変わり、本当の極曲線は測定で得ます。失速の限界 \(C_{L,\max}=1.4\) はフラップなしの典型的な値です。ここでは多くのグライダーと同じく最小沈下の点が失速の近くにあり、パイロットがサーマルの中を式より少し速く旋回するのはこのためです。空気の密度は海面高度の値です。