ISEGORIA / 数学百科事典
宇宙論：膨張する宇宙
フリードマン方程式を図にします。二つの密度パラメータ Ω_m と Ω_Λ が宇宙の年齢、運命、加速をどう決めるか。銀河までの距離がなぜ三種類あり、角径距離がなぜ折り返すのか。そして光が 45° に進む共形図の中で、粒子的地平線、事象の地平線、ハッブル球が三つの異なる曲線になることを見ます。
前提知識: 一般相対性理論と熱力学
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. フリードマン方程式
物質、曲率、宇宙定数からなる一様な宇宙では、フリードマン方程式は H² = H₀²(Ω_m a⁻³ + Ω_k a⁻² + Ω_Λ)、Ω_k = 1 − Ω_m − Ω_Λ と書けます。(Ω_m, Ω_Λ) 平面の金色の点をドラッグすると、右の曲線 a(t) が積分し直されます。過去へはビッグバンまで積分して年齢 t₀ が決まり、未来へはビッグクランチか永遠の膨張まで続きます。破線の対角線は平坦な宇宙、青緑の線 Ω_Λ = Ω_m/2 は現在の膨張が加速も減速もしていない場所です。Ω_Λ を十分大きくすると、色のついた領域が示すように、宇宙にはビッグバンがなかったことになり、a(t) は跳ね返ります。橙の境界より下へ動かすと宇宙は再収縮します。ä の符号が変わる橙の点が、点を動かすにつれて曲線上を滑るのを見てください。
計算例. \(H_0=67.7\) km/s/Mpc では \(1/H_0=14.44\) 十億年です。アインシュタイン・ド・ジッター宇宙 \((1,0)\) は \(a\propto t^{2/3}\) で、年齢は \(\tfrac23/H_0=9.63\) 十億年。空の宇宙 \((0,0)\) は \(a\propto t\) で、年齢はちょうど \(14.44\) 十億年です。ΛCDM の \((0.31,0.69)\) では積分から \(t_0=13.80\) 十億年、\(q_0=0.155-0.69=-0.535\) が得られます。加速が始まったのは \(a^{3}=\Omega_m/2\Omega_\Lambda=0.2246\)、つまり \(a=0.608\)、\(z=0.645\) のときで、宇宙の年齢は \(7.63\) 十億年でした。閉じた物質宇宙 \((3,0)\) の年齢は \(7.41\) 十億年で、今から \(40.7\) 十億年後に再収縮します。
注意点. ここでは放射を無視しています。放射は最初の五万年ほどを支配していたので、\(a=0\) のごく近くで曲線は正しくなく、ΛCDM の年齢は \(0.02\) 十億年ほど大きめに出ます。それ以外に目に見える違いはありません。この模型ではまた \(\Lambda\) を厳密な定数として扱い、ニュートリノの小さな質量も無視しています。再収縮とビッグバンなしの境界は、\(E^{2}(a)\) が \(a>1\) または \(a<1\) で零点をもつかどうかで数値的に決めており、Carroll、Press、Turner の閉じた式と十二桁で一致します。
曲率はフリードマン方程式には現れますが、加速の方程式には現れません。平坦の線が橙の点の位置に影響しないのはなぜですか？
\(\dot a^{2}=H_0^{2}(\Omega_m a^{-1}+\Omega_k+\Omega_\Lambda a^{2})\) を時間で微分すると、定数 \(\Omega_k\) は消えて \(\ddot a=H_0^{2}(-\tfrac12\Omega_m a^{-2}+\Omega_\Lambda a)\) が残ります。曲率は運動の積分定数であり、投げた石の全エネルギーのようなものです。石が脱出するかどうかは決めますが、各瞬間に重力がどれだけ引くかは決めません。したがって \(\ddot a=0\) はいつでも \(a^{3}=\Omega_m/2\Omega_\Lambda\) で起こり、\(\Omega_k\) には依りません。点を平坦の線と平行に動かしても、曲線がそのスケール因子を通る速さが変わるだけです。
2. 距離と赤方偏移
膨張する宇宙では、銀河までの距離は一つに決まりません。共動距離 D_C は光の経路に沿った c dz/H(z) の積分です。光度距離 D_L = (1+z)D_M は標準光源の暗さから推定される距離、角径距離 D_A = D_M/(1+z) は標準物差しの小ささから推定される距離です。金色の点を赤方偏移の軸に沿ってドラッグし、三つの値を読んでください。D_A は増加して z = 1.6 付近で最大になり、その後は減少します。右の図は差し渡し 100 kpc の銀河をその赤方偏移で見たもので、折り返し点を越えると銀河はふたたび大きく見えます。私たちに届く光は、銀河がずっと近くにあったときに出たものだからです。H₀ を変えると曲線全体の尺度が変わり、Ω_m と Ω_Λ を変えると横方向の距離 D_M に開いた幾何や閉じた幾何の sinh や sin が現れます。
計算例. \(H_0=67.7\) km/s/Mpc の ΛCDM では \(c/H_0=4.43\) Gpc です。\(z=1\) で \(\int_0^{1}dz/E=0.767\) なので、\(D_C=3.40\) Gpc、\(D_L=6.79\) Gpc、\(D_A=1.70\) Gpc となり、光は \(7.94\) 十億年前に出発しました。差し渡し \(100\) kpc の銀河の見かけの大きさは \(\theta=0.1\,\mathrm{Mpc}/1698\,\mathrm{Mpc}=5.9\times10^{-5}\) rad、つまり \(12.1\) 秒角です。\(D_A\) の最大値は \(z=1.59\) での \(1.79\) Gpc で、そこで同じ銀河は最も小さい \(11.5\) 秒角に見えます。\(z=10\) では \(24\) 秒角に戻りますが、フラックスはさらに \((1+z)^{-2}=1/121\) 倍に落ちています。
注意点. 放射は無視しており、これは \(z\gtrsim100\) でしか効きません。赤方偏移は純粋に宇宙論的なものとしていますが、実際の銀河は数百 km/s の特異速度ももち、\(z<0.01\) ではそれが支配的です。距離は一様な宇宙を仮定しています。物質の塊や空洞の間を縫って来る光はレンズ効果を受けるので、個々の \(D_A\) は数パーセントばらつきます。\(D_L\) は全波長のフラックスで定義され、一つのバンドで観測するにはさらに K 補正が必要です。過去を見ている時間は距離ではありません。\(z=10\) からの光は \(13.3\) 十億年かけて届きますが、その源はいま \(31\) 十億光年の彼方にあります。
曲率や密度によらず、すべてのフリードマン宇宙で D_L/D_A = (1+z)² となるのはなぜですか？
どちらの距離も、同じ横方向共動距離 \(D_M\)、すなわち光がいま広がっている球の半径から作られます。放射時に大きさ \(\ell\) の物差しの見かけの角度は \(\ell/(a_e D_M)\) です。光が出たときの球は \(a_e=1/(1+z)\) 倍だけ小さかったからで、これが \(D_A=D_M/(1+z)\) を与えます。フラックスは \(L/4\pi D_M^{2}\) に \(1/(1+z)\) の因子が二つ掛かります。各光子のエネルギーが減り、光子の到着頻度も減るからで、これが \(D_L=(1+z)D_M\) です。この比はエザリントンの関係と呼ばれ、光子数が保存される計量理論なら何でも成り立つので、もし観測で破れが見つかれば、宇宙モデルの違いではなく新しい物理の証拠になります。
3. 地平線と光円錐
時計を共形時間 dη = dt/a に取り替え、距離を共動座標で測ると、膨張する宇宙は平らな時空図になり、すべての光線が 45° の直線になります。銀河は縦線です。私たちの過去の光円錐は現在から η = 0 のビッグバンまで下り、η = 0 と交わる場所が粒子的地平線、つまりその光が届く時間のあった最も遠い物質です。ΛCDM では未来全体の共形時間が有限の η_∞ なので、上からも第二の円錐が下りてきます。これが事象の地平線で、その外側の出来事は決して見えません。後退速度が c に等しいハッブル球は、第三の、まったく別の曲線です。金色の銀河を「現在」の線に沿ってドラッグし、今日出した光子が χ = 0 にいつか届くかどうかを確かめてください。再生を押すと、私たちの光円錐がビッグバンから育つ様子が見られます。
計算例. 現在の ΛCDM では \(\eta_0=46.2\) 十億光年なので、粒子的地平線は共動距離で \(46.2\) 十億光年の彼方にあり、光が旅した \(13.8\) 十億光年の三倍です。残された共形時間は \(\eta_\infty-\eta_0=16.6\) 十億光年で、これが事象の地平線です。ハッブル半径は \(c/H_0=14.4\) 十億光年です。\(\chi=15\) 十億光年の銀河は光より速い \(1.04c\) で後退していますが、今日出た光はそれでも \(t=54\) 十億年に届きます。ハッブル球が \(17.4\) 十億光年まで広がって光子に追いつくからです。\(30\) 十億光年の銀河は粒子的地平線の内側なので過去の姿は見えますが、今日出す光は決して届きません。
注意点. この実験では放射 \(\Omega_r=9.1\times10^{-5}\) を含めています。粒子的地平線を十億光年近く変えるからで、ΛCDM の年齢は \(13.78\) 十億年になります。図は空間が一次元なので、左右は同じ方向とその鏡像です。ド・ジッターに近い模型では現在を \(a=1\) に保つため、現在は Λ の時代に深く入った \(t_0=40\) 十億年となり、粒子的地平線は枠のはるか外にあります。共動する銀河は厳密に縦線として描いていますが、実際の銀河には特異運動があり、私たちの局所銀河群のような束縛された構造はまったく膨張しません。
ハッブル球と事象の地平線は現在どちらも 15 十億光年付近にあります。ハッブル球が地平線ではないのはなぜですか？
ハッブル球は現在の後退速度が \(c\) に等しい場所であり、光子の未来については何も語りません。そのすぐ外側の光子は、\(c\) よりわずかに速く後退する空間の中を \(c\) で私たちへ向かうので、最初は遠ざかります。しかし減速する宇宙や緩やかに加速する宇宙ではハッブル球 \(c/(aH)\) が広がって光子を追い越し、それ以後は光子が近づいてきます。いつか届くかどうかは未来全体の積分 \(\int_{t}^{\infty}c\,dt/a=c(\eta_\infty-\eta)\)、すなわち事象の地平線で決まります。ΛCDM ではハッブル球が \(c/(H_0\sqrt{\Omega_\Lambda})=17.4\) 十億光年に近づき、事象の地平線が縮んでそこで出会うので、両者が一致するのは漸近的にだけです。アインシュタイン・ド・ジッター宇宙ではハッブル球は際限なく広がり、事象の地平線はまったくありません。