ISEGORIA / 数学百科事典
磁性とイジング模型：整列から生まれる秩序
隣と揃いたいだけのスピンと、それができるかどうかを決める温度を扱います。オンサーガーの厳密な臨界温度と磁化をもつ二次元イジング格子、決して秩序化せずその理由を正確に語る一次元の鎖、そしてどこでも転移を予言し、教訓的なやり方で数値を外す平均場の描像を調べます。
前提知識: 統計力学と確率
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 二次元イジング模型
正方格子の各サイトは ±1 のスピンをもち、揃った隣接対ごとにエネルギー −J を得ます。高温ではスピンはほぼランダムに反転し、平均スピンである磁化 m は 0 です。格子を冷やすと、T꜀ = 2J / k ln(1 + √2) = 2.269 J/k でスピンは自発的に向きを選びます。T꜀ より下では m は 0 から離れ、オンサーガーとヤンが厳密解から引き出した指数 1/8 で立ち上がります。左の格子はメトロポリスの規則で、ランダムなスピンを一つずつ更新します。エネルギー ΔE を要する反転は確率 e^{−ΔE/kT} で受け入れられます。温度を T꜀ をまたいでドラッグし、ドメインができる様子を見てください。右のグラフは |m| の移動平均を厳密な曲線と比べています。
計算例. \(kT=2J\) では \(\sinh(2J/kT)=\sinh1=1.175\) なので \(m=(1-1.175^{-4})^{1/8}=(1-0.524)^{1/8}=0.911\) です。\(T_c\) よりかなり下では格子はほぼ飽和しています。\(kT=2.2J\) では \(m=0.785\)、\(T_c\) のすぐ下の \(kT=2.26J\) では \(m=0.613\) で、曲線は \(T_c\) そのもので垂直に 0 へ落ちます。無秩序相では、揃った隣接対を不揃いにする反転のコストは高々 \(\Delta E=8J\) で、\(kT=5J\) では確率 \(e^{-8J/kT}=0.20\)、\(kT=J\) では \(0.0003\) で受け入れられます。
注意点. 格子は周期的な端をもつ 64 × 64 で、有限の格子に真の相転移はありません。\(T_c\) の近くでは格子全体が符号を反転させることがあり、だからグラフは \(|m|\) を示し、相関長が箱を超える \(T_c\) のすぐ上では測定点が厳密な曲線より上にあります。メトロポリス力学も \(T_c\) の近くで臨界的に遅くなるので、そこでの移動平均が落ち着くには多くのスイープを要します。磁場 \(h\) は転移を完全に消します。そのとき \(m\) は \(T\) の解析関数で、二次元模型の厳密な \(m(T,h)\) は知られていません。
分配関数を決して計算しないメトロポリスの規則が、なぜボルツマン分布から標本を取れるのですか？
詳細つり合いを満たすからです。一つのスピンだけが異なる二つの配置 \(a\) と \(b\) について、\(a\to b\) の率は \(\min(1,e^{-(E_b-E_a)/kT})\)、\(b\to a\) の率は \(\min(1,e^{-(E_a-E_b)/kT})\) で、その比はちょうど \(e^{-(E_b-E_a)/kT}=P(b)/P(a)\) です。遷移率が目標の確率の比をなし、あらゆる配置に到達できるマルコフ連鎖は、その目標をただ一つの定常分布としてもちます。規格化定数 \(Z\) は比の中で打ち消され、だからエネルギー差しか現れないのです。
2. 決して秩序化しない鎖
一次元では同じ模型に、0 より上のどの温度でも転移がありません。その理由は一枚の絵です。N 個のスピンの鎖のどこかにドメイン壁を入れるコストは 2J だけで、置ける場所は N か所あるので、エントロピー k ln N がどんな T > 0 でもエネルギー 2J に勝ちます。鎖は転移行列で厳密に解けます。その最大固有値が自由エネルギーを与え、固有値の比が相関長 ξ = −1/ln tanh(J/kT) を与えます。相関は tanh(J/kT)^r のように減衰し、ξ が発散するのは T → 0 のときだけです。T をドラッグして、測定した相関関数を厳密なものと比べてください。左の鎖はドメイン壁を示しています。
計算例. \(kT=J\) では \(\tanh1=0.762\)、\(\xi=3.7\) スピンです。隣どうしは偶然より 76% 多く揃いますが、十スピン離れると相関は \(0.762^{10}=0.066\) です。\(kT=0.2J\) では \(\tanh5=0.99991\)、\(\xi=11{,}000\) スピンで、ここに描いた 240 スピンの鎖より長いので、冷たい鎖は秩序があるように見えます。しかしそれは偶然に一つのドメインになっているだけで、相転移によるものではありません。磁場があると固有値は \(\lambda_\pm=e^{J/kT}[\cosh(h/kT)\pm\sqrt{\sinh^2(h/kT)+e^{-4J/kT}}]\) で、磁化 \(m=\sinh(h/kT)/\sqrt{\sinh^2(h/kT)+e^{-4J/kT}}\) は \(T\) について滑らかで、\(h=0\) では消えます。
注意点. 測定した相関は 240 スピンの鎖と数百回のスイープの平均なので、厳密な曲線のまわりに散らばります。信号が小さい大きな \(r\) では特にそうです。厳密な曲線は無限の鎖のものです。ドメイン壁の議論はパイエルスの議論の裏返しです。二次元では液滴を囲む壁の長さは液滴とともに増えるので、低温ではそのエネルギーがエントロピーに勝ち、秩序が生き残ります。二次元での連続対称性の秩序を禁じるマーミン・ワグナーの定理は、イジングスピンには当てはまりません。その対称性が離散的だからです。
転移行列はなぜ 2ᴺ 個の配置にわたる和を二つの数の積に変えられるのですか？
鎖のボルツマン重みは結合ごとに一つずつ、隣り合う二つのスピンだけに依存する因子の積に分解します。二つの結合の間の内側のスピンについて和を取ることは、結合の重みの 2 × 2 行列二つの行列積そのものです。だから \(N\) 本の結合からなる環のすべてのスピンにわたる和は \(\operatorname{tr}V^N\) です。対称行列は対角化できるのでこれは \(\lambda_+^N+\lambda_-^N\) で、大きな \(N\) では大きい方の固有値が支配します。一スピンあたりの自由エネルギーは \(-kT\ln\lambda_+\) で、比 \(\lambda_-/\lambda_+<1\) が相関の減衰率を決めます。トレースに二つのスピンを挿入したものは、その間の \(V^r\) の行列要素だからです。
3. 平均場：正しい考え、誤った数値
スピンの隣人をその平均で置き換えると、各スピンは z 個の隣人からの有効磁場 zJm と外部磁場 h を感じます。磁場中の一つのスピンは ⟨s⟩ = tanh((zJm + h)/kT) をもち、平均スピンが仮定した m と一致するという無矛盾性を要求すると、キュリー・ワイスの方程式 m = tanh((zJm + h)/kT) が得られます。kT꜀ = zJ より下では直線 y = m が tanh の曲線と三回交わり、秩序解が m ∝ (T꜀ − T)^{1/2} で現れます。正方格子では z = 4 なので、平均場は T꜀ をオンサーガーの 2.269 に対して 4 J/k に置き、指数を厳密な 1/8 に対して 1/2 とします。鎖については転移がないところに 2 J/k での転移を予言します。T をドラッグして交点を見てください。右の図は三つの m(T) 曲線を並べています。
計算例. \(z=4\)、\(kT=2J\) では自己無撞着解は \(m=\tanh(2m)\)、すなわち \(m=0.957\) です。オンサーガーは同じ温度で \(0.911\) を与えます。\(kT=3J\) で平均場はなお \(m=0.776\) と言いますが、厳密な格子はすでに無秩序です。平均場の \(T_c\) の近くで \(\tanh x\approx x-x^3/3\) と展開すると \(m^2=3(1-T/T_c)\) で、\(kT=3.9J\) では \(m=\sqrt{3\times0.025}=0.27\) です。
注意点. 平均場はゆらぎを無視しますが、相転移はまさにゆらぎでできています。ゆらぎこそが一次元で秩序を壊し、二次元で \(T_c\) を下げるものです。この近似は隣人の数が増えるほど良くなり、無限遠まで及ぶ相互作用や四次元より上では厳密になります。そこではゆらぎの補正がくりこみ群の意味で無関係だからです。したがって指数 \(\beta=1/2\)、\(\gamma=1\) は誤りというより誤った普遍性クラスです。二次元イジングの値 \(\beta=1/8\)、\(\gamma=7/4\) は、格子が何であれ二状態の対称性をもつすべての二次元系に共通します。
平均場の方程式はなぜ、厳密解には転移がない一次元でさえ必ず転移を生み出すのですか？
ゆらぐ隣人を固定された平均場で置き換えるので、一次元では有限のエネルギーしか要しない一枚のドメイン壁がその先のすべての整列を壊すことが見えないのです。自己無撞着方程式は一様な \(m\) が自分自身を維持できるかどうかしか問いません。\(z\) 個の隣人をもつ一様な \(m\) は \(zJ/kT>1\) になれば常に維持できます。原点での \(\tanh(zJm/kT)\) の傾きが 1 を超えるからです。決して問われないのは、その一様な状態が局所的な励起に対して安定かどうかで、一次元ではそうではありません。