射影幾何：平行線が交わる場所

計算例. \(\ell_1: y=x\) と \(\ell_2: y=x+2\) は平行です。斉次座標の直線として \(\ell_1=(1,-1,0)\)、\(\ell_2=(1,-1,2)\)（\(aX+bY+cZ=0\) の係数）です。外積は \((-2,-2,0)\propto[1:1:0]\) で、方向 \((1,1)\) の無限遠点です。\(\ell_2\) を \(y=2x+2\)、すなわち \((2,-1,2)\) に変えると、外積は \((-2,-2,1)\) で \(Z\neq0\) となり、交点はチャートの点 \((-2,-2)\) です。\(x=2x+2\) を解いても同じです。

注意点. 3D 表示では O を通る直線の両側を描いています。[X : Y : Z] と [−X : −Y : −Z] は同じ点だからです。読み出しでは Z が負にならないように符号をそろえています。平面 z = 1 はチャートにすぎず、地平線は含みません。別のチャート（たとえば y = 1）をとれば、いま無限遠にある点の一部が見えるようになり、別の点が遠ざかります。

計算例. 直線上の A、B、C、D を位置 0、1、3、6 にとります。\(AC=3\)、\(BD=5\)、\(BC=2\)、\(AD=6\) なので \((A,B;C,D)=15/12=5/4\) です。A=0、B=1、C=3 に対する調和な第四点は \(\frac{3\,(d-1)}{2\,d}=-1\) を解いて \(d=3/5\) です。このとき \(AC=3\)、\(BD=-\tfrac25\)、\(BC=2\)、\(AD=\tfrac35\) で、\(3\cdot(-\tfrac25)/(2\cdot\tfrac35)=-1\) となり、どのスクリーンでも再び \(-1\) と読めます。

注意点. 長さは直線に沿った符号つきの量なので、複比は負になりえます。A,B と C,D が互いを隔てるときちょうど負になります。像の一つが無限遠にあるときは、それに関わる長さが比の中で打ち消し合い、複比は残りの三点から決まります。このとき読み出しには光線から求めた値が出ます。四点を入れ替えると値は λ、1/λ、1−λ、1/(1−λ)、(λ−1)/λ、λ/(λ−1) の六通りのどれかになり、それ以外にはなりません。

計算例. 平面を \(\tau=30^\circ\) 傾けます。\(e=\sqrt2\sin30^\circ=0.707\) で、切り口は楕円 \(\tfrac12u^2+v^2+\sqrt3\,u-\tfrac12=0\) です。半軸は \(a=1/\cos60^\circ=2\)、\(b=\sqrt2\)、中心は \(u=-\tan60^\circ=-1.732\) で、確かに \(1-b^2/a^2=0.5=e^2\) です。\(\tau=45^\circ\) では \(u^2\) の項が消えて放物線 \(v^2+2u=0\) になります。\(\tau=60^\circ\) では \(e=1.225\) で、双曲線は無限遠点を二つもちます。

注意点. 円錐の半頂角は 45° で、平面は頂点からつねに距離 1 にあります。そのため半直弦は傾きによらず 1 で、放物線に近い楕円はたいへん細長くなります。右の図は、枠より長いときは頂点に近い部分だけを示します。円錐と平面は有限の大きさに描いていますが、実際には限りなく広がっています。六角形に平行な向かい合う辺の組があるとき、その交点は無限遠点で描かれませんが、パスカル線はその点を通っています。