ISEGORIA / 数学百科事典
微分形式：循環・カール・引き戻し
線積分・面積分・座標変換の関係を調べます。
前提知識: 多変数微積分と微分幾何
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 線積分
円形の経路を指定した回数だけたどり、1形式 ω を積分します。完全形式 d(xy)、dω が 0 でない形式、原点に穴をもつ閉形式である角度形式 dθ から選べます。経路の中心と出発点をドラッグできます。経路は ω(γ̇) の符号で色分けされ、右のグラフは経路をたどるにつれて積分が積み上がる様子を示します。
計算例. ω = dθ では、原点のまわりを1周する円で 2π、原点を囲まない円で 0 になります。
注意点. dθ は原点以外で dω = 0 を満たしますが、穴のあいた平面上のどの関数の微分でもありません。経路によらないためには、完全形式か、単連結な領域上の閉形式である必要があります。
経路が穴のまわりを回ると何が変わりますか？
場は局所的にカールがなくても、除かれた点の周囲で非零の循環を持ち得ます。
2. ストークスの定理
1形式 ω = (−y/2 + y³/3) dx + (x/2 − x³/3 + 0.4x²) dy について、色は dω を表します。中央で正、破線の円の外で負です。円板とその縁をドラッグしてください。境界に沿った ω の循環は、いつも円板上の dω の積分に等しくなります。グラフはすべての半径について同時にこれを確かめます。向きを反転すると両辺がそろって符号を変えます。
計算例. 向きを反転すると二つの積分が同時に符号反転します。
注意点. 等式には滑らかな形式と、境界と整合する向き付き曲面が必要です。
両辺の符号が変わるのはなぜですか？
向きを反転すると誘導された境界の向きも反転するためです。
3. 引き戻しと面積
写像 φ(u, v) = (su + kv, v + cu²) は (u, v) 正方形を平面へ曲げて写します。小さなセルをドラッグしてください。像の符号付き面積はセルの面積の det Dφ 倍に近く、破線の平行四辺形（セルに Dφ を施したもの）がその線形近似です。曲げとせん断が十分大きいと det Dφ は折り目の線で符号を変え、そこで像が折り返されて向きが反転します。
計算例. 行列式が正なら向きを保ち、負なら反転します。
注意点. この写像はヤコビアンが簡単になるように選んだものです。折り返しがあると、引き戻しの積分は像の重なった部分を逆の符号で数えます。
行列式は何を表しますか？
写像の符号付き局所面積倍率です。