ISEGORIA / 数学百科事典
複雑系：単純な多数の部品から生まれる秩序
近くの相手しか参照しない規則に従う同一の多数の単位と、そのどれもしないことをする全体を扱います。臨界結合を超えると同期する振動子、雪崩の縁へと自らを調整する砂山、突然つながるランダムな格子、群れをなす自走粒子。それぞれに秩序変数と閾値と機構があります。
前提知識: 確率、力学系、統計力学
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 同期：蔵本モデル
N 個の振動子が円周上を回ります。それぞれ固有の自然振動数 ωᵢ をもち、結合 K によって他のすべての振動子に引き寄せられます。点が振動子で、色は自然振動数を表します。矢印は平均場 r e^{iψ} で、その長さ r が秩序変数です。位相が一様に散らばれば 0、すべてが揃えば 1 です。蔵本の発見は、半値幅 γ のローレンツ分布から振動数を取ると転移が厳密になることでした。K꜀ = 2γ より下では平均場は消えて r = 0 です。上では r = √(1 − K꜀/K) で、|ωᵢ| ≤ K r の振動子は平均場にロックし、残りは漂います。K をゆっくり上げて、矢印が無から育つのを見てください。
計算例. \(\gamma=1\)、\(K=3\) なら \(K_c=2\) で、ロック状態の秩序変数は \(r=\sqrt{1-2/3}=0.577\) です。振動子がロックするのは不動点をもつとき、すなわち \(\omega_i=K r\sin(\theta_i-\psi)\) に解があるときで、\(|\omega_i|\le Kr=1.73\) です。ローレンツ分布ではこれは全体の \(\tfrac2\pi\arctan(1.73)=0.67\) にあたります。\(K=6\) では \(r=0.816\) で、87% がロックします。
注意点. この公式は \(N\to\infty\) の場合のものです。ここでの \(N=120\) 個の振動子では、\(K_c\) より下でも \(r\) はおよそ \(1/\sqrt N\approx0.09\) だけゆらぐので、右の測定曲線は \(K_c\) での鋭い角を丸め、決して完全には 0 になりません。振動数はランダムな標本ではなくローレンツ分布の分位点にしてあり、標本のノイズは消えますが、裾に非常に速い振動子が二つ置かれます。それらは決してロックせず、回り続ける点です。閉じた式が得られるのはローレンツ分布の特別さです。ガウス分布でも閾値は同じく \(K_c=2/(\pi g(0))\) ですが、\(r(K)\) に初等的な表現はありません。
閾値 K꜀ = 2/(π g(0)) が中心振動数における振動子の密度だけで決まるのはなぜですか？
閾値のすぐ上では \(r\) は極めて小さいので、ロックできるのは \(|\omega|\le Kr\) という中心付近のごく薄い層の振動子だけです。漂う振動子は対称性により平均して \(r\) に何も寄与しません。ロックした振動子は \(\sin(\theta-\psi)=\omega/Kr\) に位置し、\(r\) への寄与は \(\int_{-Kr}^{Kr}\cos\theta\,g(\omega)\,d\omega=Kr\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta\,g(Kr\sin\theta)\,d\theta\) です。自己無撞着条件 \(r=\) この量で、\(r\to0\) のとき \(g(Kr\sin\theta)\to g(0)\) となるので、\(1=K g(0)\pi/2\) が得られます。極限で生き残るのは \(g(0)\) だけです。
2. 自己組織化臨界：砂山
格子に砂粒を一つずつ落とします。四粒をもつセルは崩れ、各隣接セルに一粒ずつ送ります。端から落ちた砂粒は失われます。四粒に達した隣接セルも順に崩れ、この連鎖反応が雪崩で、その大きさは崩れの回数です。誰もパラメータを調整していないのに、砂山はあらゆる大きさの雪崩がべき乗則の分布で起こる状態へと自らを駆り立てます。これが自己組織化臨界です。中央に落とせば砂山は有名な決定論的な模様に育ち、ランダムな場所に落とせば右の雪崩のヒストグラムが読めます。足す順序は決して問題になりません。最終的な砂山は同じで、だからこのモデルはアーベル的と呼ばれます。
計算例. 空の格子の一つのセルに四粒を置くと、崩れは一回で、四つの隣接セルが一粒ずつもち、中央は空になり、砂粒は失われません。中央にさらに四粒足すと中央は再び崩れ、隣接セルは二粒になります。三度目の四粒で隣接セルは三粒になり、四度目の四粒は中央を崩し、続いて四つの隣接セルすべてを崩し、各隣接セルが一粒ずつ返すので中央をもう一度崩します。大きさ 6 の雪崩で、そのあとひし形の角に初めて砂粒が置かれます。
注意点. べき乗則を見るには多くの桁が必要で、101 × 101 の格子ではおよそ三桁です。最大の大きさではヒストグラムは下に曲がります。雪崩が境界に達して砂粒を失うからです。二次元砂山の指数 \(\tau\) は厳密には知られておらず、数値的な推定値は対数補正つきで 1.3 の近くに集まり、ここでフィットした傾きは使う大きさの範囲に依存します。中央に落とす砂山は統計的な意味では臨界ではまったくありません。それは単一の決定論的な対象で、その模様は偏微分方程式系で記述されるスケーリング極限をもちます（ペグデンとスマート、2013 年）。だからノイズではなくフラクタルのように見えるのです。
砂山はなぜ永続的な雪崩へ行き過ぎたり平らに落ち着いたりせずに、自ら臨界状態へ組織化するのですか？
二つの逆向きの駆動がつり合います。砂粒を足すと平均の高さが上がり、高い砂山ほど崩れやすいので雪崩は大きくなります。大きな雪崩は境界に達することが多く、より多くの砂粒を失うので、砂山は低くなります。唯一の定常状態は、足した一粒あたりの平均損失がちょうど一粒になる状態で、そのためには雪崩が系の大きさまであらゆるスケールに及ぶ必要があります。すべてが小さければ砂粒は端に届かず砂山は上がり続け、すべてが系全体に及べば砂山は満たされるより速く排出されます。臨界性はこのフィードバックの不動点で、どんな初期状態からでも到達されます。
3. パーコレーション：突然つながる格子
正方格子の各サイトは独立に確率 p で開いていて、隣り合う開いたサイトはクラスターにまとまります。p が小さければクラスターは小さく、p が大きければ一つの巨大なクラスターが格子を覆います。この変化は緩やかではありません。無限格子には鋭い閾値 p꜀ ≈ 0.5927 があり、その下では無限クラスターは存在せず、上ではちょうど一つ存在します。金色の点をドラッグして p を変えてください。同じ乱数を使い回すので、p を上げるとサイトが増えるだけで、クラスターが合体していく様子が見えます。上下の両方に触れる張り渡しクラスターは金色で描きます。右のグラフは二つの格子の大きさについて張り渡しクラスターが存在する確率で、格子が大きいほど段差は鋭くなります。
計算例. 48 × 48 の格子で \(p=0.5\) のとき、最大クラスターは開いたサイトのおよそ一割を含み、何も張り渡しません。\(p=0.65\) では最大クラスターは開いたサイトの 80% 以上を含み、ほとんどすべての標本で張り渡します。その間で張り渡し確率は 0 近くから 1 近くへ上がり、その幅は格子が大きくなるにつれて \(L^{-3/4}\) のように縮みます。相関長の指数が \(\nu=4/3\) だからです。
注意点. 正方格子のサイト・パーコレーションには厳密な閾値がありません。0.592746 は数値的な値です。一方、同じ格子のボンド・パーコレーションは \(p_c=1/2\) がちょうど成り立ち（ケステン、1980 年）、三角格子のサイト・パーコレーションも \(p_c=1/2\) です。\(5/36\) や \(4/3\) といった指数は普遍的で、すべての二次元格子に共通し、三角格子についてはスミルノフの共形不変性を通して証明されています。有限の格子では「張り渡し」が「無限」の代わりです。\(p_c\) での張り渡し確率は 0 でも 1 でもなく、箱の形に依存して格子には依存しない一定の数です。
張り渡し確率が p とともに滑らかに上がるのではなく、鋭い閾値が必ず存在するのはなぜですか？
無限クラスターが存在するかどうかは、どの有限個のサイトの集合にも依存しません。有限個のサイトを変えればクラスターは縮んだり伸びたりしますが、無限クラスターを作ったり壊したりはできません。するとコルモゴロフの 0-1 法則により、この事象の確率は各 \(p\) について 0 か 1 です。開いたサイトが増えて損はしないという単調性から、確率 1 となる \(p\) の集合は区間 \((p_c,1]\) になり、それが閾値です。右の滑らかな曲線は有限サイズの効果で、一辺 \(L\) の格子では段差の幅はおよそ \(L^{-1/\nu}\) です。
4. 群れ：ヴィチェック模型
粒子は一定の速さで動き、各ステップで半径内の隣人の平均の向きに、大きさ η のランダムな誤差を加えて向きを変えます。リーダーも目的も力もなく、ノイズを伴う模倣だけがあります。ノイズが小さいと全体が一緒に動くようになります。平均速度の長さである分極 φ は 1 に近づきます。ノイズが大きいと向きの相関は消え、φ はランダムな群衆の 1/√N まで落ちます。その間には相転移があり、自走粒子の秩序相が現れます。これは同じ次元の平衡系にはあり得ない相です。マーミン・ワグナーの定理が禁じているからです。η を変えて群れができたり崩れたりする様子を見てください。ρ を動かすと密度が助けになることが分かります。
計算例. \(N=300\)、\(\rho=2\)、\(\eta=0.5\) では、分極はランダムな初期状態でのおよそ 0.06 から数百ステップのうちに 0.9 以上へ上がり、そこにとどまります。\(\eta=2\pi\) では隣人が何をしていても新しい向きは一様にランダムなので、\(\varphi\) は \(1/\sqrt{300}=0.058\) のまわりでゆらぎます。右の測定曲線はこの密度では \(\eta=2.5\) と \(3\) の間で \(\varphi=0.5\) を横切ります。
注意点. 箱は周期的で、それが群れを持続させます。壁で囲まれた場では群れは境界で散ってしまいます。\(N=300\) では転移は広い \(\eta\) の範囲にぼやけ、ヴィチェックが報告したように連続なのか、後の大規模なシミュレーションが見つけたように進行する密度の帯を伴って不連続なのか（グレゴワールとシャテ、2004 年）は、ブラウザで動く規模をはるかに超えた大きさでしか現れません。右の平均は各 \(\eta\) について 150 ステップの過渡状態のあとの 150 ステップにわたるもので、曲線は遅い緩和のスナップショットであって平衡ではありません。
連続スピンをもつ二次元の磁石は秩序をもてないのに、二次元の群れは秩序をもてるのはなぜですか？
平衡状態の XY 磁石では、スピンの長波長のねじれは波数の二乗に比例するエネルギーを要し、二次元でそのようなねじれすべての熱ゆらぎを足し合わせると対数的に発散する積分になります。スピンは無限に遠くまで一致できないのです。群れをなす粒子は平衡状態にありません。動くので、粒子は自分の向きを新しい近傍へ運び、平均の向きの情報は拡散するのではなく系を横切って移流します。トナーとトゥーは、この移流項がゆらぎを収束させ、二次元でも真の長距離秩序が生き残ることを示しました。