ISEGORIA / 数学百科事典
構造力学：橋はどう荷重を支えるか
橋もクレーンも建物の骨組みも、荷重を、それを受け持てる部材を通して地面へ運ぶ機械です。トラスは押しか引きしか受けない棒でそれを行うので、すべての力が各節点のつり合いから決まり、問題全体が連立一次方程式になります。はりは曲がることでそれを行い、せん断力とモーメントの図が、どこが最も働いているかを教え、断面の高さが応力を決め、たわみには三乗で効きます。細長い柱は限界荷重までしか荷重を運べず、それを超えると、端の支え方と横の支えで決まる形に、横へ反ります。つり合い、曲率、安定性という三つの考えが、構造設計の大部分を担っています。
前提知識: ベクトルと行列、力のつり合い、微積分
予想してから操作し、各実験の練習問題で理解を確かめてください。練習問題は三つの難易度で毎回新しく生成されます。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 節点ごとに解くトラス橋
トラスは両端をピンで留めた棒を三角形に積み上げたもので、どの棒も自分の長さの方向の押しか引きだけを受けます。そのため問題全体が線形代数になります。各節点に働く力の和はゼロで、節点ごとに方程式が二つあり、棒が \(m\) 本、節点が \(j\) 個、支点反力が三つの静定トラスでは、未知数と方程式がちょうど \(m+3=2j\) 個です。これが節点法で、ここではプラット、ハウ、ワーレンの三種のトラスを解いています。荷重を床版に沿ってドラッグすると、棒が引張と圧縮を入れ替えるのが見えます。トラスを高くすると弦材の力が下がります。節点を選ぶと、その節点の力が多角形として閉じます。
計算例. 4 m のパネルが六つ、高さ 4 m のプラットトラスで、節点 L2（x = 8 m）に 100 kN をかけます。反力は \(R_A=100\times16/24=66.7\) kN と \(R_B=33.3\) kN です。荷重の隣ではりとしてのモーメントが \(M=66.7\times8=533\) kN·m なので、上弦材 U1U2 は押され、下弦材 L2L3 は \(M/h=133\) kN で引かれます。荷重より左の二本の斜材は、せん断力 \(V=66.7\) kN を 45° で受け持ち、\(66.7/\sin45^\circ=94.3\) kN の引張です。荷重のすぐ右のパネルではせん断力が \(-33.3\) kN に反転するので、その斜材 U2L3 は 47.1 kN の圧縮になります。プラットの斜材が引張材でいられるのは、せん断力が設計どおりの符号をもつ間だけです。
注意点. 実際の接合部はピンではなくボルトか溶接で、棒は自重でも曲がります。ピン接合のモデルは、細い棒に節点で荷重をかける場合に正確です。床版の荷重は、てこの原理で両側の二つの節点に分けられ、自重は無視しています。実際の橋は移動する荷重の最悪の位置に対して設計され、「荷重を端から端へ動かす」ボタンはその位置を順に通ります。図の棒の太さは力の平方根に比例し、どの棒も同じ応力になるよう寸法を決めたような描き方です。
なぜ高いトラスほど弦材の鋼が少なくて済むのですか？
弦材はモーメントを偶力として受けるからです。下弦材の引きと上弦材の押しが等しく、距離 \(h\) 離れていれば、モーメントは \(Fh\) です。荷重が各断面の \(M\) を決めるので \(F=M/h\) となり、\(h\) を二倍にすれば弦材の力はすべて半分になります。代わりに斜材と垂直材が長くなり、風を受ける面積も増えるので、最適な高さがあり、たいてい支間の六分の一から十分の一です。
2. せん断力、モーメント、たわみ
はりは曲がることで荷重に抵抗します。どこで切っても、切断面を通るせん断力 \(V\) と曲げモーメント \(M\) が、二つの半分をつり合わせています。\(V\) は切断面より左にあるものすべての鉛直方向の合力、\(M\) はその回転させる効果の合計で、\(V\) は \(M\) の傾きです。オイラーとベルヌーイは、断面は平らなまま曲がった軸に直交しつづけるという仮定を一つ加え、それによって曲率がモーメントに比例します。応力は高さ方向に直線的に変わり、中立軸でゼロ、表面で最大です。はりの支え方を選び、荷重をかけ、任意の断面で \(V\)、\(M\)、たわみ、応力を読んでください。数値は有限要素法の解で、教科書の閉じた式と一致します。
計算例. 幅 150 mm、高さ 300 mm、長さ 6 m の鋼のはりは、\(I=bh^3/12=3.375\times10^{-4}\) m⁴、\(EI=67\,500\) kN·m² です。単純支持で、2 m の位置に 40 kN をかけます。反力は \(40\times4/6=26.7\) kN と 13.3 kN、モーメントは荷重の真下で最大の \(M=26.7\times2=53.3\) kN·m、最大応力は \(6M/bh^2=6\times53.3\times10^3/(0.15\times0.3^2)=23.7\) MPa です。荷重の真下のたわみは \(Pa^2b^2/(3EIL)=40\times4\times16/(3\times67\,500\times6)=2.11\) mm で、支間の 2850 分の 1 です。代わりに高さを 400 mm にすると、\(EI\) は \((4/3)^3=2.37\) 倍になり、応力は \((3/4)^2\) 倍になります。
注意点. オイラー・ベルヌーイの理論はせん断による変形を無視するので、短くて高いはり（支間が高さの約十倍未満）では誤差が出ます。また傾きは小さいと仮定します。図ではたわみが見えるよう、読み取り欄の倍率で誇張していますが、数値はすべて本当の値です。材料は弾性の鋼（E = 200 GPa）で、応力を降伏応力とは比べていません。表示したせん断応力は長方形断面の放物線です。
なぜ曲げ応力は中立軸でゼロなのに、せん断応力はそこで最大になるのですか？
曲げ応力は中立軸からの距離に比例するので、そこではゼロです。せん断応力は、ある高さより上の層がその下の層の上をすべるのを止めるもので、その高さより上の部分の曲げの力が、はりに沿ってどれだけ増えるかに等しくなります。その部分が最も大きいのは高さが中立軸のときなので、\(\tau\) はそこで最大になり、長方形では \(1.5V/A\) です。
3. 座屈モードと支え
細長い棒を軸方向に押すと、限界荷重まではまっすぐで、その後に横へ反ります。オイラーはこの荷重を、曲がった形がつり合いうるのはいつかと問うて求めました。たわみは \(k^2=P/EI\) として \(w^{\prime\prime}+k^2w=0\) に従い、正弦と余弦と直線の和で、端の条件がどの組み合わせを許すかを決めます。\(\kappa=kL\) が行列式の根になる特別な値のときだけ、反った形が存在できます。それが座屈荷重で、その形がモードです。両端ピンでは \(\kappa=\pi,2\pi,3\pi\) となり、端を固定したり自由にしたりすると根が動きます。それを表すのが有効長さ \(KL\) です。剛な横の支えはもう一つの拘束です。第二モードの節に置くと、柱は四倍の荷重に耐えます。
計算例. 鋼管は直径 60 mm、肉厚 4 mm で \(I=2.77\times10^{-7}\) m⁴、\(EI=55.5\) kN·m²、長さは 3 m です。両端ピンなら \(\pi^2EI/L^2=60.8\) kN で座屈し、そのときの応力は降伏応力の三分の一の 86 MPa にすぎません。下端固定で上端自由なら \(\kappa=\pi/2\) で荷重は 15.2 kN に下がります（\(K=2\)）。両端固定なら \(\kappa=2\pi\) で 243 kN に上がり（\(K=0.5\)）、固定・ピンでは 124 kN です（\(K=0.699\)）。両端ピンの柱の中央に支えを置いても荷重は 243 kN になります。最初に反る形がそこに節をもつようになるからです。0.3L の高さの支えは 3.2 倍の価値があります。
注意点. これらは完全にまっすぐな弾性の柱の荷重です。実際の柱は曲がっていたり軸からわずかにずれていたりして、オイラー荷重より低い荷重で壊れます。太短い柱（この鋼では \(KL/r\) がおよそ 89 未満）は座屈する前に降伏し、読み取り欄がそれを知らせます。線形理論は形を決めますが、たわみの大きさは決めないので、表示の振幅は小さな一定の値です。支えは完全に剛としています。実際の支えには十分な剛性が必要で、柔らかい支えでは、支えありと支えなしの間の荷重になります。
なぜ両端ピンの柱の一端のすぐ隣の支えが、それほど効くのですか？
反った形は端でゼロになり、少し離れた支えでもゼロにならなければならないので、そこでの傾きがほとんどなくなるからです。支えが端の回転を止め、固定端のように働きます。一端のすぐ隣に支えをもつ両端ピンの柱は、固定・ピンの柱と同じように、約 2.05 倍の荷重で、\(K\approx0.7\) で座屈します。最も効果的な位置は中央で、支えが第二モードの節にあたり、増加は 4 倍になります。