ISEGORIA / 数学百科事典
電動機：電流をトルクに変える
すべての電動機は同じ二つの事実を使います。磁界の中の電流は力を受け、磁界の中を動く導体には電圧が誘導されます。直流電動機では整流子が各導体の電流を正しい向きに保ち、誘導される逆起電力が回転速度を決めます。交流電動機では、三分の一周期ずつずれた電流を流した三つの静止した巻線が、ひとりでに回る磁界を作ります。誘導電動機の回転子は、その磁界が回転子に誘導する電流によって引きずられて回ります。
前提知識: 電磁誘導、フェーザ、回転の力学
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. ひとりでに回る磁界
固定子のまわりに軸が 120° ずつずれた三つの巻線を置き、それぞれが三分の一周期ずつ遅れる三相電流を流します。巻線一つだけでは磁界はその軸に沿って脈動するだけですが、三つの脈動を足し合わせると、一定の強さで内側を一様に回る磁界になります。極対が p なら、電源の p 周期で一回転します。電源を流し、一相を不平衡にし、二本の線を入れ替え、あるいは二相を外して何が残るかを見てください。
計算例. 50 Hz の電源につないだ四極の電動機（\(p=2\)）では磁界は \(60\times50/2=1500\) rpm で回り、60 Hz の二極の電動機では 3600 rpm です。c 相の電流が他の相の半分しかないと、磁界は 1.25 の正転部分と 0.25 の逆転部分（一相の最大値を単位とする）に分かれ、その先端は半径 1.5 の円ではなく、半軸が 1.5 と 1.0 の楕円を描きます。
注意点. 各巻線は、ギャップのまわりの角度の余弦で変わる磁界を作るものと理想化しています。実際の分布巻線はこれをよく近似しますが厳密ではなく、それが加える空間高調波は除いています。磁界の強さは任意単位で、中央の矢印は電気角で描いています。電気角は極対が一つのときだけ機械角に等しくなります。
3/2 という係数はどこから来るのですか？
各脈動磁界を、逆向きに回る大きさ半分の二つの磁界として書きます。\(\cos(\omega t-\phi)\,\hat{\mathbf u}\) は正転するベクトルの半分と逆転するベクトルの半分の和です。巻線と電流がどちらも 120° ずつずれていると、三つの正転の半分はそろって \(3\times\frac12=\frac32\) になり、三つの逆転の半分は互いに 120° ずつずれた向きを指してちょうど打ち消し合います。
2. 直流電動機：トルク、逆起電力、効率
永久磁石直流電動機では、トルクは電機子電流に比例し、回る電機子はその速度に比例する逆起電力を生み、どちらにも同じ定数 k が現れます。オームの法則がそれらを結びつけます。加えた電圧は逆起電力と抵抗での電圧降下に分けられます。そのため負荷が増えると速度は直線的に下がり、出力と効率はまったく異なる負荷で最大になります。電圧と巻線抵抗を変え、負荷をドラッグし、電動機が始動する様子を見てください。
計算例. \(k=0.02\) N·m/A、\(R=0.6\ \Omega\)、摩擦 0.01 N·m で 12 V をかけると、電動機は無負荷で 5590 rpm で回り、0.39 N·m で拘束されます。0.1 N·m の負荷では 4150 rpm で回り、5.5 A を流し、66 W から 43.5 W を出すので効率は 66% です。最大出力 57 W は拘束トルクの半分で得られますが、最高効率 71% はわずか 0.053 N·m で得られ、そこでの電流は \(\sqrt{0.5\times20}=3.2\) A です。
注意点. モデルは一定の摩擦トルクを一つだけもち、鉄損、ブラシの電圧降下、電機子反作用を無視し、抵抗は室温の値としています。実際の巻線は熱くなり、抵抗は 1 度あたりおよそ 0.4% 上がります。過渡応答は上の二つの連立方程式の厳密解を数値的に積分したもので、電動機のトルクが負荷を超えるまで回転子は止まっています。
なぜ拘束された電動機は焼けるのに、回っている電動機は焼けないのですか？
止まっているときに電流を制限するのは巻線の抵抗だけだからです。\(i=V/R\) はここでは 20 A で、熱 \(i^2R\) は 240 W、そのすべてが巻線で発生します。いったん回り出すと逆起電力 \(k\omega\) が電源に逆らい、電流は負荷が必要とする量まで下がります。回っている電動機は自分の回転速度に守られているのです。
3. 誘導電動機のトルク・速度曲線
誘導電動機の回転子は電源とつながっていません。回る磁界が回転子の導体棒を横切ってそこに電流を誘導し、その電流にはたらく力が回転子を引きずって回します。回転子が磁界に追いついてしまうと何も誘導されないので、いつもわずかに遅く回ります。その遅れであるすべりがすべてを決めます。シュタインメッツの等価回路から、制動、電動、発電にわたるトルク・速度曲線全体が得られます。負荷、回転子の抵抗、電源周波数を変えてください。
計算例. ここでの電動機は 400 V、50 Hz の星形結線で、\(R_1=0.4\)、\(X_1=X_2=1.0\)、\(X_m=30\)、\(R_2=0.35\ \Omega\) です。すべり 3%、1455 rpm で 74.7 N·m を出し、20.2 A、力率 0.87 で 11.4 kW です。停動トルクは 200 N·m でその 2.7 倍、すべり 17% で生じます。電源に直接つないで始動すると 76 N·m を出しますが、運転電流の 5.4 倍の 110 A を流します。回転子の抵抗を三倍にすると、停動点はまったく同じ 200 N·m のまますべり 52% に移ります。
注意点. パラメータはこの大きさの電動機の代表的な値で、特定の製品のものではありません。回路は鉄損、摩擦と風損、飽和を無視しているので、示す効率は銅損だけを数えたもので数パーセント楽観的です。実際のかご形回転子は、深い導体棒の表皮効果によってすべりとともに実効抵抗が変わり、始動トルクはこの曲線より高くなります。
なぜ停動トルクは回転子の抵抗によらないのですか？
回転子の抵抗はいつもすべりで割った \(R_2/s\) の形でしか現れないからです。\(R_2\) を二倍にして s を二倍にすると同じ回路、同じ電流、同じエアギャップ電力になるので、曲線上のすべての点は同じトルクのまま二倍のすべりへ移るだけです。最大値は横に動いても高さは変わりません。だから巻線形の電動機は重い負荷を始動するときに抵抗を加え、回り出したら取り除くのです。