ISEGORIA / 数学百科事典
表現論：行列として作用する群
群は対称性の抽象的な一覧です。表現は各対称性を行列にし、対称性の合成を行列の積に変えます。有限群のどんな表現も既約な部分に分かれ、その分かれ方は部分ごとの一行の数、指標が決めます。回転行列と置換行列としての二面体群、指標表と、あらゆるものを分解する内積、そして振動数と縮退が対称性によって定まる対称な環の振動を調べます。
前提知識: 群論と線形代数
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 行列としての対称性
正 n 角形の対称性は二面体群 Dₙ をなします。n 個の回転 rᵏ と n 個の鏡映 srᵏ です。どれも平面を線形に動かすので 2 × 2 行列であり、合成の行列は行列の積です。これが表現 ρ(gh) = ρ(g)ρ(h) です。同じ群は n 個の頂点の入れ替えでもあり、それが n × n の置換行列による二つ目の表現を与えます。一つの群の表現どうしはまったく違って見えることがありますが、どれも指標、つまり行列のトレースをもちます。置換行列のトレースは、動かない頂点の数を数えるだけです。元を選び、再生を押して作用する様子を見て、ベクトルをドラッグして行列の働きを確かめてください。
計算例. \(D_4\) では四分の一回転 \(r\) の行列は \(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) でトレースは 0、半回転 \(r^2=-I\) のトレースは \(-2\)、鏡映のトレースはすべて 0 です。四つの頂点の上では、\(r\) と \(r^2\) は何も固定せず、向かい合う角を通る鏡映 \(s\) と \(sr^2\) はそれぞれ二つの頂点を固定し、辺の中点を通る \(sr\)、\(sr^3\) は一つも固定しません。したがって類 \(e,\ r^2,\ \{r,r^3\},\ \{s,sr^2\},\ \{sr,sr^3\}\) の上で置換の指標は \((4,0,0,2,0)\)、2 × 2 の指標は \((2,-2,0,0,0)\) です。
注意点. 鏡映のアニメーションは、平面がどちら向きに裏返るかを示すために三次元を通って折り返しています。鏡映そのものは瞬間的で、行列式が \(-1\) なので平面の中で恒等変換へ連続的につながる道はありません。\(r^k\) と \(sr^k\) という名前は \(s\) の取り方に依存します。ここでは \(s\) は頂点 1 を通る \(x\) 軸についての鏡映で、\(sr^k\) は「\(r^k\) で回してから鏡映する」という意味です。
なぜ指標の異なる二つの表現は、別の座標で書いた同じ表現ではなく、本当に異なる表現でなければならないのですか？
座標を変えると、ある一つの可逆行列 \(P\) によってすべての行列 \(\rho(g)\) が \(P\rho(g)P^{-1}\) に置き換わり、トレースは変わりません。\(\operatorname{tr}(PAP^{-1})=\operatorname{tr}A\) です。したがって同値な表現は等しい指標をもちます。驚くべきは、次の実験の直交関係が示す逆の主張です。\(\mathbb C\) 上の有限群では、指標が等しければ表現は同値です。共役類ごとに一つの数である指標が、すべてを担っているのです。
2. 指標表と分解の仕方
有限群には共役類とちょうど同じ数の既約表現があり、それらの指標は正方形の表をなします。その行は内積 ⟨χ, ψ⟩ = (1/|G|) Σ χ(g) ψ(g)* について正規直交です。この正規直交性がアルゴリズムのすべてです。既約表現 χᵢ が任意の表現に何回現れるかを知るには、その指標と第 i 行との内積を取ればよく、不変部分空間を見つける必要はありません。群と表現を選んでください。棒が重複度を示します。群が自分自身の上の関数に作用する正則表現では、どの既約表現もその次元と同じ回数だけ現れます。
計算例. 三点を置換する \(S_3\) では、類 \(e\)、互換（3 個）、3 巡回置換（2 個）の上で \(\chi=(3,1,0)\) です。すると \(m_{\rm triv}=(3+3\cdot1+0)/6=1\)、\(m_{\rm sign}=(3-3+0)/6=0\)、\(m_{\rm std}=(3\cdot2+0+0)/6=1\) となり、置換表現は自明な直線（すべて 1 のベクトル）と二次元の標準表現（和が 0 のベクトル）の和です。確認として \(\langle\chi,\chi\rangle=(9+3+0)/6=2=1^2+1^2\) です。指標に \(\omega=e^{2\pi i/3}\) が現れる \(A_4\) では、三次元の既約表現の自分自身とのテンソル積は \((9,1,0,0)\) を与え、これは自明な表現、\(\chi_\omega\)、\(\chi_{\omega^2}\)、そして三次元の既約表現二つの和です。
注意点. ここではすべて複素数の上で考えています。実数の上では、複素化すれば分かれる既約表現が、それ以上分かれないことがあります。\(\mathbb H=\mathbb R^4\) に作用する四元数群は \(\mathbb R\) 上で既約ですが、その指標 \((4,-4,0,0,0)\) は二次元の複素既約表現の二倍です。無限群では和が群上の積分になり、それがうまくいくのはコンパクト群だけです。ここに示した表は、この四つの小さな群については完全です。
なぜどの既約表現も、正則表現の中にちょうどその次元と同じ回数だけ現れるのですか？
正則表現は基底ベクトル \(e_h\) を \(g:e_h\mapsto e_{gh}\) で置換し、自明でない \(g\) はそのすべてを動かすので、その指標は単位元で \(|G|\)、それ以外ではどこでも \(0\) です。すると \(\chi_i\) との内積には単位元の項だけが残り、\(m_i=\frac{1}{|G|}\,|G|\,\overline{\chi_i(e)}=d_i\) となります。両辺の次元を数えると \(|G|=\sum_i m_id_i=\sum_i d_i^2\) で、読み取り欄の等式が得られます。
3. 対称性が振動数を決める
閉じた弦に n 個の等しいビーズを付け、それぞれを自分の放射方向に動けるようにします。運動方程式は環のすべての対称性と可換なので、シューアの補題により、基準振動は Dₙ の既約表現の中に選べます。それは環を一周するフーリエ波で、波とその鏡像 q と n − q は一つの二次元既約表現に属するので、同じ振動数をもたねばなりません。縮退は偶然ではなく強いられたものです。ビーズを一つ重くすると、それを通る鏡映だけが生き残ります。すると各対は、その鏡映について偶のモードと奇のモードに分かれます。奇のモードは重いビーズの位置に節をもつので、余分な質量をまったく感じません。
計算例. \(n=6\) では振動数は \(2\omega_0|\sin(\pi q/6)|\) です。\(q=0\) では \(0\)（すべてのビーズが一緒にずれる、自明な既約表現 \(A_1\)）、\(\omega_0\) が二回（\(q=1,5\)、既約表現 \(E_1\)）、\(\sqrt3\,\omega_0\) が二回（\(q=2,4\)、\(E_2\)）、\(2\omega_0\) が一回（\(q=3\)、隣どうしが逆位相、一次元の \(B\)）です。合わせて \(1+2+2+1=6\) 個のモードです。ビーズ 1 を 2.5 倍重くすると、振動数の二乗の和は \(M^{-1}K\) のトレースが求めるとおり \(12\omega_0^2\) から \((10+0.8)\,\omega_0^2\) に下がりますが、二つの奇のモードはちょうど \(\omega_0\) と \(\sqrt3\,\omega_0\) にとどまります。
注意点. このモデルは正しい対称性をもつ最も単純なものです。変位は小さく、弦の張力は \(F\)、間隔は \(a\) で、各ビーズは隣の二つとだけ結合しています。\(q=0\) のモードの振動数が 0 なのは、一様なずれに抵抗するものが何もないからです。実際の分子では剛体の並進や回転がこの役を担います。分子では \(D_n\) の代わりに点群を使う同じ推論で、力の定数を一つも知る前に、いくつの振動数が現れ、どれが縮退するかを予言できます。
なぜビーズ 1 を重くしても、奇のモードは近似的ではなく正確に振動数を保つのですか？
ビーズ 1 を通る鏡映について奇であるとは \(u_{-j}=-u_j\) のことで、特に \(u_0=-u_0=0\)、つまりビーズ 1 は動きません。するとビーズ 1 の運動方程式は \(m_0\cdot0=(F/a)(u_1+u_{-1})=0\) となり、\(m_0\) が何であっても成り立ちます。他のビーズは前と同じ方程式に従います。したがって元の奇の固有ベクトルは、元の振動数のまま、依然として厳密な解です。表現の言葉で言えば、摂動は鏡映と可換なので奇の部分空間と偶の部分空間を混ぜることはできず、奇の部分空間の上では 0 なのです。