ISEGORIA / 数学百科事典
エルゴード理論：時間平均が空間平均に等しくなるとき
エルゴード理論は、力学系の一本の軌道が長い目で見て何をするかを問います。写像が面積や確率を保ち、二つの不変な部分に分けられないなら、ほとんどすべての出発点について、軌道がある領域で過ごす時間の割合はその領域の大きさに等しくなります。この一つの考えが、無理数回転が円を一様に満たす理由、カオス的な写像が出発点を忘れる理由、そして 2 のべきのおよそ三分の一が 1 で始まる理由を説明します。
前提知識: 測度論と力学系
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 円を無理数の角度で回す
円周 1 の円を一定の量 α だけ繰り返し回し、点 0 がどこに着くかに印を付けます。α が分数 p/q なら印は q 回で繰り返します。α が無理数なら印は決して繰り返さず、さらに強いことが起こります。円のどの弧も、その長さに等しい割合の印を受け取るのです。これは 1916 年にワイルが証明しました。これが最も単純なエルゴード系です。回転は長さを保ち、円全体と空集合以外のどの弧もそれ自身にぴったり写されることはありません。点を一つずつ加え、点の間のすきまを見て、弧を動かして一様分布を確かめてください。
計算例. 黄金比 \(\alpha=(\sqrt5-1)/2\approx0.618\) をとります。最初の四点 \(0,0.618,0.236,0.854\) は円を長さ 0.146、0.236、0.382 のすきまに分け、\(0.382=0.146+0.236\) です。五点目の 0.472 は最長のすきまを分け、長さは二種類だけになります。100 点の後、長さ 0.25 の弧 \([0.1,0.35)\) にはちょうど 25 点が入り、スター・ディスクレパンシーはおよそ 0.02 で、どんな数列でもほぼ最良の値です。
注意点. 一様分布は極限についての主張で、どれだけ速く起こるかは α が分数でどれだけよく近似できるかで決まります。黄金比は最も近似しにくい数で、最も均等に広がります。一方 \(\pi-3\) は 1/7 にとても近いので、最初の五十点は七つのかたまりに集まってから広がります。点は浮動小数点で計算しており、ここでは十分に正確です。
なぜすきまの長さは三種類を超えないのですか？
すきまはすべて同じ回転で作られるからです。各すきまはある点 \(x_i\) から始まり、それを \(-\alpha\) だけずらすと \(x_{i-1}\) のすきまになります。ただしその一歩で集合からはみ出す場合は別で、それが起こるのはごく少数の点（最新の点と 0 の隣）だけです。だからすきまはすべて高々三つの写しで、シュタインハウスが予想し 1950 年代に証明された三間隙定理は、最長のものが他の二つの和であることを示します。
2. 混合：猫写像とパン屋の写像
エルゴード性は、一本の軌道がすべてを公平に訪れることをいいます。混合はより強い性質で、初期条件のどんな塊も、空間全体に一様に塗り広げられるまで広がるので、どの塊から出発したかを知っても後でどこにいるかについて何もわかりません。アーノルドの猫写像はトーラスの上でこれを行います。行列式 1 の整数行列で、面積を保ちながら一方向に伸ばし別の方向に縮めます。円板を動かし、写像を一歩ずつ施し、エルゴード的だが決して混合しないトーラスの回転と比べてください。
計算例. この行列の固有値は \(2.618\) と \(0.382\) で、その積は行列式の 1 です。半径 0.17 の円板は一歩ごとに 2.618 倍に伸ばされるので、6 歩後には円板の糸は \(2.618^6\approx320\) 倍の長さになり、トーラスに何十回も巻きつきます。面積 0.09 の検査用の正方形に入る円板の割合は、はじめは 0 で、3 歩目からは 0.09 から 0.01 以内に留まります。
注意点. 図は各画素を逆写像でたどって描いているので、糸が画素より細くなると、本当の糸ではなく細かい灰色と金色の模様が見えます。見える一様さは本物で、模様は標本化によるものです。曲線は円板の 6000 個の標本点を数えています。有理点の有限格子の上では猫写像は置換で、絵は決まった歩数で戻りますが、矛盾ではありません。それらの点の測度は 0 だからです。
トーラスの回転はエルゴード的なのに、なぜ決して混合しないのですか？
回転は等長写像です。円板の形を変えずに動かすので、円板はいつまでも同じ半径の円板のままです。正方形に入る割合は、円板が別の場所にあるときは 0、通り抜けるときは大きくなり、その値が繰り返し現れます。エルゴード性に必要なのはその割合の長期平均が \(\mu(A)\mu(B)\) になることだけで、混合には割合そのものが収束することが必要で、それには引き伸ばしが要ります。
3. バーコフ平均とベンフォードの法則
バーコフのエルゴード定理によれば、確率測度 μ を保つエルゴード的な写像では、積分可能な量のほとんどすべての軌道に沿った時間平均は、その空間平均に収束します。何が「公平」かは測度が決めます。倍写像では長さ、r = 4 のロジスティック写像では両端に集まる逆正弦分布です。同じ定理を log₁₀ 2 による回転に当てはめると、2 のべきがベンフォードの法則に従う理由がわかります。系を選び、出発点をドラッグし、軌道を長くしてください。
計算例. ロジスティック写像では \(\int_0^1x^2\,\frac{dx}{\pi\sqrt{x(1-x)}}=\frac38\) で、一様分布での平均なら \(\frac13\) になるところです。ほとんどどの出発点からでも \(10^4\) 歩の軌道は 0.375 からおよそ 0.005 以内に入ります。2 のべきの最初の \(10^4\) 個のうち 1 で始まるのは 3010 個で、\(10^4\log_{10}2=3010.3\) と比べられます。9 で始まるのは 458 個で、457.6 と比べられます。
注意点. 定理がいうのはすべての出発点ではなく、ほとんどすべての出発点です。倍写像のもとで \(x_0=1/3\) は 1/3 と 2/3 の間を回り、\(x^2\) の平均は 5/18 になります。ここでの倍写像の軌道は二進数の桁のずらしとして作っており、最初の 30 桁を選んだ \(x_0\) から取り、残りはランダムです。浮動小数点で二倍を繰り返すと 53 歩で 0 になってしまうからです。ロジスティック写像の軌道は浮動小数点で反復しています。数十歩を過ぎると \(x_0\) の厳密な軌道ではなくなりますが、ある本当の軌道の近くに留まります。
なぜロジスティック写像の軌道は 0 と 1 の近くに集まるのですか？
\(x=1/2\) の近くで写像は平らで、導関数 \(4-8x\) がそこで 0 になります。そのため 1/2 の近くの区間全体が 1 の近くの小さな区間に送られ、そこから 0 の近くの小さな区間に送られます。だから軌道は一様に広がる場合よりはるかに頻繁に両端へ戻ります。置き換え \(x=\sin^2(\pi\theta/2)\) で写像はテント写像になり、テント写像は \(\theta\) を一様に広げます。逆正弦密度はその一様な広がりの像です。