ISEGORIA / 数学百科事典
確率：不確実性から学ぶ
ベイズ更新・確率変数の和・条件付き確率を学びます。
前提知識: 分数・場合の数・初歩的な確率
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 信念を更新する
ベータ事前分布と表・裏の回数を選びます。実線の事後分布は、事前分布に尤度を掛けて規格化し直したものです。濃い帯は中央95%信用区間、金色の線は事後平均です。再生すると、観測を1回ずつ加えて信念が更新される様子が見られます。
計算例. 一様な事前分布 Beta(1, 1) に表3回・裏1回なら Beta(4, 2) となり、平均は2/3です。
注意点. 各試行は独立で、未知の確率は一定と仮定しています。事後分布はこの仮定に依存します。
事後平均が観測比率そのものにならないのはなぜですか？
事前分布も情報を持つためです。観測が増えるとその相対的影響は小さくなります。
2. 標準化した和
独立なベルヌーイ試行の回数を増やします。左の棒は標準化した和の厳密な二項確率に σ を掛けたもので、棒の面積が確率になります。曲線は標準正規密度です。右では、2つの分布関数の最大のずれをすべての n について計算し、ベリー・エッセンの上界と比べます。
計算例. n=20、p=0.5 の和の平均は10、分散は5です。
注意点. 中心極限定理は分布の収束を述べます。nが小さい場合や偏りが大きい場合、近似は悪くなります。
個々の試行が正規分布になるという意味ですか？
いいえ。標準化した和が正規分布に近づき、各試行はベルヌーイ分布のままです。
3. 条件付き確率
単位正方形を標本空間とし、面積を確率とします。Bは縦の帯で、その端をドラッグできます。B内とB外のAの高さもドラッグできます。右では、同じ共通部分 A∩B を P(B) で割ると P(A | B)、P(A) で割ると P(B | A) になります。
計算例. P(B)=0.4、P(A|B)=0.75 なら P(A∩B)=0.3 です。
注意点. 条件付き確率は一般に対称ではなく、P(A|B) と P(B|A) は異なり得ます。
この図で A と B が独立になるのはいつですか？
2つの条件付きの高さが等しく、Bを知ってもAの確率が変わらないときです。