ISEGORIA / 数学百科事典
一般相対性理論：曲率・時計・光
ラベル付き埋め込み図・重力時間遅れ・弱重力場の光偏向を調べます。
前提知識: 特殊相対性理論と微分幾何
予想してから操作し、計算例と問いで理解を確かめてください。グラフは数式の図示であり、証明ではありません。
1. 埋め込み図
回転しない質量の外側で、ある瞬間の赤道面の幾何は、想像上の余分な次元の中の曲面として描けます。シュワルツシルト半径を変え、金色の輪をドラッグしてください。地平面から r までの断面に沿った長さは、物差しを並べて測る固有距離で、常に r − rₛ より長くなります。半径 r は円周 2πr によって定義されているからです。
計算例. r = 2rₛ では地平面からの固有距離は (√2 + ln(1 + √2)) rₛ ≈ 2.30 rₛ で、座標の差 rₛ の2倍以上です。
注意点. 追加した垂直軸は、ある時刻での曲がった空間を描くための道具にすぎません。この曲面には物が落ちる原因である時間の曲がりは現れず、地平面の内側も描いていません。
追加された垂直軸は何ですか？
内在的な空間幾何を表示するための可視化座標です。
2. 重力時間遅れ
ブラックホールの外側の半径 r に時計を静止させ、遠方の時計と比べます。青の時計をドラッグしてください。遠方の時計が1進む間に、この時計は √(1 − rₛ/r) しか進みません。この時計が外へ送る光は、その逆数の比で赤方偏移して届きます。破線は弱重力場の近似 1 + Φ/c² で、遠方ではよく合いますが、地平面の近くでは外れます。
計算例. r = 2rₛ では係数は √(1/2) ≈ 0.707 で、遠方の時計の1時間ごとに近くの時計は約17.6分遅れます。
注意点. この式は回転しない球対称質量の外側で静止させた時計のもので、そのためにはロケットや支えが必要です。落下や周回をする時計には速さによる因子も加わります。
どの時計の固有時が短くなりますか？
重力場の深い場所にある時計です。
3. ブラックホール近くでの光の曲がり
質量のそばを通る光は曲がります。ここでは各光線をシュワルツシルト時空での光の厳密な軌道方程式を積分して描き、その偏向角を弱重力場の式 2rₛ/b と比べます。衝突パラメータ b をドラッグしてください。遠方では両者は一致し、光子球の近くでは本当の角度が限りなく大きくなり、b = (3√3/2) rₛ より小さいと光は捕獲されます。
計算例. 太陽では rₛ ≈ 2.95 km、かすめる光線では b ≈ 6.96 × 10⁵ km なので、α ≈ 8.5 × 10⁻⁶ rad ≈ 1.75″ となり、1919年の日食で確かめられた値です。
注意点. 弱重力場の式は rₛ/b による展開の第1項です。b = 5rₛ ではすでに角度をおよそ3分の1過小に見積もり、光子球の近くでは完全に破綻します。
偏向を小さくするものは？
衝突パラメータ b を大きくすることです。