たわみ振動する腕では、f ∝ (t/L²)√(E/ρ)。周波数は腕の厚みに比例し、腕の長さの逆二乗に比例します。だからこそ音叉はフォトリソグラフィでミクロン精度にエッチングされ、最後にレーザーで仕上げられます。
01 / 全体の流れ
七つの段階、
二つの領域
段階を選んでください。モーターより左は電子回路、右から先は普通の意味での時計です。教育用の模式図です。歯数・電流・配置は代表的な値であり、特定のキャリバーのものではありません。
02 / 共振子
石はなぜ
命令どおり震えるのか
水晶が圧電性をもつのは、結晶格子に対称心がないからです。圧すれば電圧が生じ、電圧をかければ形が変わります。- 1対称心をもたない格子
α-水晶は三方晶系32群に属します。ひずみによってSi⁴⁺とO²⁻の副格子が異なる量だけ変位するため、変形した結晶は正味の双極子をもち、表面に電荷が現れます。
- 2逆圧電効果が駆動する
各腕に沿って形成された電極が電界をかけ、腕の片側を伸ばし反対側を縮めます。片面が伸び反対面が縮む棒は、曲がります。
- 3圧電効果が読み返す
同じ電極が、曲がりによって生じた電荷を拾います。これが帰還ループを閉じます。水晶はアクチュエータであると同時にセンサーなのです。
- 4逆位相こそが要点
二本の腕は大きさが等しく向きが逆の運動量をもつため、音叉がマウントと接する場所で反力が打ち消し合います。外へ漏れるものがほとんどないので、Qは10⁴から10⁵に達します。逆に同相で駆動すると基部が揺れ、エネルギーが逃げ、共振は崩れます。
公称周波数32 768 Hz2¹⁵ ちょうど
Q値5×10⁴ – 10⁵真空封止の容器内で
等価直列抵抗20 – 50 kΩ回路が打ち勝つべき損失
リングダウン時間≈ 0.5 s駆動を切った後 2Q/ω
最終調整では腕の先端で質量を削るか加えます。そこはモード形状の変位が最大、すなわち感度が最大の場所です。金を飛ばせば周波数は上がり、金を載せれば下がります。一回あたり数ppmの世界です。
2¹⁵だからです。トグルFFだけで十五回半分にすれば、ちょうど1 Hzに着地します。同時に消費電力の勘所でもあります。CMOSの動的電力はC V² fに比例するので、高い周波数の水晶は短期安定度を買う代わりに電池寿命を線形に支払います。
共振子を一行でf ≈ 0.162 · (t / L²) · √(E / ρ)
水晶ではE ≈ 78 GPa、ρ = 2650 kg/m³なので、長さ約2.4 mm・厚さ0.1 mmの腕は32 kHz付近に落ち着きます。この先の時計は、すべて「数える」仕事です。ここから先に速度を決めるものはありません。
03 / 電気的な分身
機械の共振子を、
オームで書く
回路から見ると、音叉は途方もない値のLCR枝が、自らの電極容量と並列につながったものに見えます。その値は、姿を変えた力学そのものです。直列共振32 768.0 Hz|Z|最小、= R₁
並列共振32 803.1 Hz|Z|最大
動作周波数32 772.7 Hzfₛより +144 ppm
Q値54 0000.52 s 鳴り続ける
この寸法にそんなインダクタは存在しません。L₁はインダクタではなく、振動する腕の質量を電気の単位で表したものです。直列LCRとばね質量ダンパは同じ二階の方程式に従うからです。C₁は腕の剛性、R₁はあらゆる損失機構の総和です。
回路が周波数を引っ張れるのはfₛとfₚの間だけで、その窓の幅はおよそC₁/2C₀ ≈ 1000 ppmしかありません。水晶はそれ以外の場所で動くことを端的に拒みます。振幅・姿勢・ゼンマイトルクで歩度が動くテンプと比べてみてください。
微調整で CLを4 pFから20 pFまで動かしても、動作点はおよそ200 ppm、つまり月差にして約九分ぶんしか動きません。それがクオーツ時計の調整幅のすべてであり、現代のムーブメントではこれをデジタルで行います。
04 / 振動を維持する
インバータ一つを、
逆向きに使う
デジタルゲートを、それ自身にとって禁じられたアナログ領域にバイアスすると増幅器になります。そこに水晶を巻きつければ、32 768 Hzで発振する以外に道はありません。負性抵抗−164 kΩ−gm/(ω²CgCd)
利得余裕5.5×発振は持続する
起動時定数0.12 s2L₁/(|Rneg| − R₁)
発振回路の消費0.3 µA≈ 0.45 µW
ピアース発振回路をいちばん整理して見るなら、インバータと二つの容量が水晶に対して−gm/(ω²CgCd)を提示している、と考えることです。この負性抵抗の大きさがR₁を上回れば正味の損失は負になり、あらゆる擾乱が成長します。設計上は三〜五倍の余裕が望ましく、それ以上は電流を無駄にし、音叉を過剰駆動します。
振幅はe^(t/τ)に従って成長します。ここでτ = 2L₁/(|Rneg|−R₁)。音叉を安定にしているあの巨大なL₁が、同時に目覚めを遅くします。高Q共振子ははずみ車です。乱しにくく、同じだけ回し始めにくい。
Rdは音叉をどれだけ強く駆動するかを制限します。過剰駆動は非線形なたわみ、加速する経年変化、極端な場合には腕の付け根の破断を招きます。時計用水晶の駆動は通常1マイクロワットをはるかに下回り、腕の振れは約1ミクロンです。
05 / 数え下ろす
十五回半分にすると
1になる
32 768は2¹⁵です。十五段のトグルフリップフロップが、水晶のうなりを毎秒ちょうど一発のパルスに変えます。使うのは二進法の算術だけです。
カウンタ00000000000000 · 0.000 s
- 1トグルフリップフロップ
反転出力を自らの入力に戻したDフリップフロップです。有効クロック縁ごとに状態が反転するので、出力は入力二周期に一度だけ変わります。これが厳密な二分周であり、アナログ的な誤差項は存在しません。
- 2分周器はほとんど無料
十五段は数百トランジスタです。1969年にはここが高価な部分でしたが、今日では分周器はダイ上の誤差のようなもので、高価なのは水晶のほうです。
- 3電力は最初の段に宿る
動的電力はC V² f、fは段ごとに半分になります。したがって鎖全体は第一段のおよそ二倍しか要りません。設計者は最初のフリップフロップを小さく作り、残りは怠けさせます。
- 4パルスは取り出すのではなく整形する
モーターが欲しいのは1 Hzの50 %デューティではなく、4–8 msの一蹴りです。ドライバは速い段（たとえば256 Hz）を1 Hzの段でゲートして短いパルスを切り出し、毎秒その極性を反転させます。
06 / ふたたび世界へ
地球上で最も
作られたモーター
毎秒一発のパルスが、米粒ほどの磁石をきっかり半回転させる。しかも決して逆へ回ってはならない。コイル電流（パルス平均）116 µA1.55 V / 2 kΩ、チョッパ駆動
1ステップのエネルギー0.88 µJ1日86 400ステップ
平均電流1.37 µAモーター + 論理回路
電池寿命の予測2.1年25 mAhから
穴が対称なら、ローターはステータ磁界の軸にぴったり静止してしまいます。するとパルスは起動トルクをまったく生まず、回る向きも決まりません。死点です。切り欠きは局所的に磁気飽和を起こして静止方位を約45°ずらし、起動トルクとその符号の両方を保証します。
一歩で180°回った後は、同じ極性では逆向きに押してしまいます。毎秒パルスを反転させれば幾何が回復します。おまけにコイルを流れる正味の直流がゼロになり、電食も進行性の減磁も起きません。
現代のICはパルスを短く切り、その後ローター自身の逆起電力を読んで動いたかを確認します。成功していれば次のパルスをさらに短く、失敗していれば即座に全力の補正パルスを打ちます。つまりモーターは常に自身の失敗しきい値のわずか数パーセント上で動いており、そこから電池寿命が生まれます。
07 / 減速
逆向きに回る
輪列
機械式時計は、遅い香箱から速い脱進機へと増速します。クオーツ時計は、速いローターから遅い針へと減速します。同じ歯車、逆の使命です。- 1あの一歩が署名になる
クオーツの秒針が毎秒6°進むのは、ローターがきっかり半回転し、輪列が六十で割るからです。機械式時計の「掃くような動き」も実際は一時間28 800回の微細な歩みで、これも離散的です。ただ、目が分解できるしきい値のすぐ下にあるだけです。
- 2負荷は無視できる
輪列が運ぶのは毎秒およそ1マイクロジュールです。摩耗対策の石は要らず、歯車は成形樹脂であることも多く、注油の要求も穏やかです。工学的な難所は上流のシリコンへ移りました。
- 3ここには歩度を決めるものが何もない
これが最も深い構造上の違いです。機械式では輪列が時間ループの内側にあり、摩擦やトルク変動がテンプに届いて歩度を変えます。クオーツでは輪列は厳密に下流です。詰まれば針は止まりますが、止まるまでは決して遅れない。
- 4針が増えれば、モーターも増える
クオーツクロノグラフはインダイヤルごとに独立したラベットモーターを二〜四個使います。差動機構を足すよりモーターを足すほうが安いからです。パーペチュアルカレンダーのクオーツは、日付リングを独立したカウンタと専用モーターで駆動します。
08 / 残された誤差
ひとつの放物線と、
ひとつの工夫
音叉型水晶の歩度は、転回点から離れた温度差の二乗で落ちていきます。普通のクオーツ時計の誤差収支は、ほぼこの一本の曲線だけです。歩度偏差0.00 ppm転回点にて
1日あたり0.00 s±0.07 s/日 = ISOクオーツクロノメーター
1か月あたり0.0 s±15 s/月 = 一般的なクオーツ
1年あたり0 s±10 s/年 = 温度補償型
放物線は下に開くので、25 °Cからどちらへ外れても時計は遅れます。昼は33 °Cの手首、夜は20 °Cのナイトスタンド。どちらの状態でも遅れます。普通のクオーツ時計が全体として進むより遅れる側に出るのはこのためです。
水晶はわざとわずかに速く走らせてあります。ICは一分に一度、数えたパルスを間引きます。32 768×60発のうち毎分1発は0.51 ppm、月差にしておよそ1.3秒の分解能です。しかもデジタル領域での調整なので、調整そのものが経年でずれることがありません。
温度センサーを載せ、十〜六十秒ごとに読み、間引くパルス数を引き当てます。放物線は水晶ごとに既知で安定した曲線なので、ほぼ完全に打ち消せます。残るのは経年変化です。マウントの応力緩和と腕の質量移動により、初年でおよそ1–2 ppm、その後はさらに小さくなります。
誤差収支のすべてΔf/f = −β(T − T₀)² + 経年変化 + 微調整残差
振幅の項がない。姿勢の項がない。トルクの項がない。機械式時計にはその三つがあり、しかも互いに絡み合います。この「ない」ことこそが、生の周波数の大小ではなく、クオーツの計時を同じものの上位版ではなく別の範疇にしています。
09 / 比較
一秒を分ける
二つのやり方
どちらの時計も同じ三つの仕事をします。エネルギーを蓄え、繰り返す間隔を作り、それを数える。違うのは、その間隔がどこから来るか。そして、ある一つの数字です。すべてを決める一つの数δf/f ≈ φ / 2Q
1周期あたり位相誤差φを受ける共振子では（摩擦、中心を外れた衝撃、姿勢の変化）、相対的な歩度誤差はQに反比例します。水晶音叉のQはテンプのおよそ二百倍なので、同じ擾乱を二百分の一の誤差に変換します。ほかのすべて（分周器、モーター、微調整）は、その事実のまわりの帳簿仕事です。
二つのハイブリッドが両者の間に位置します。セイコーのキネティックは電池をローター駆動の発電機に置き換えつつ、時間基準はクオーツのままです。スプリングドライブは機械式時計のゼンマイ・香箱・輪列をそのまま残し、脱進機だけを削除して、電磁的に制動される滑走車に置き換えます。その回転を水晶発振器が毎秒きっかり八回転に保つため、秒針は本当に掃きます。
| 機械式（クロノメーター級） | クオーツ（一般） | クオーツ（温度補償型） | |
|---|---|---|---|
| 時間基準 | テンプ + ひげぜんまい | エッチングされた水晶音叉 | 水晶音叉 + 温度センサー |
| 周波数 | 4 Hz · 28 800 振動/時 | 32 768 Hz | 32 768 Hz |
| Q値 | 200 – 300 | 5×10⁴ – 10⁵ | 5×10⁴ – 10⁵ |
| 歩度規格 | −4 / +6 秒/日 | ±15 秒/月 | ±10 秒/年 |
| 相対値 | ≈ 5×10⁻⁵ | ≈ 6×10⁻⁶ | ≈ 3×10⁻⁷ |
| 主要な誤差要因 | 姿勢、振り角、ゼンマイトルク、温度 | 温度の放物線 | 水晶の経年変化 |
| 調整 | ひげぜんまいの有効長またはテンプ慣性を変える | トリマコンデンサまたは固定のデジタル間引き | 温度に索引づけたデジタル間引き |
| エネルギー源 | ゼンマイ、約40時間、手首で巻かれる | 25 mAh電池、2–3年 | 電池、低消費ICなら5–10年 |
| 輪列の役割 | 時間ループの内側。摩擦が歩度を変える | 下流のみ。摩擦は針を止められても、遅らせることはできない | |
| 壊れ方 | ずれていき、やがて止まる | 完璧な時を刻み、そして突然止まる | |
すべてを貫く考え
機械式時計は測る。
クオーツ時計は
数える。
脱進機はアナログの交渉です。エネルギーが入り、テンプが間隔で答え、交渉の不完全さはすべて歩度として現れます。クオーツ時計はその交渉を取り除きました。間隔は水晶だけが決め、しかも分周が厳密であり微調整が整数でありうる領域で決めます。機構に残された仕事は、毎秒一発のパルスで磁石を回すことだけ。この時計の中で、いまも難しくあることを許されている唯一の場所です。